Fonction polynôme du second degré et forme canonique

Définition

Une fonction polynôme du second degré est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x) = ax^2+bx+c$$

où $a$, $b$, $c$ sont des réels donnés avec $a \neq 0$.

Les nombres $a$, $b$, $c$ sont appelés les coefficients du trinôme. Si $a=0$, la fonction n'est plus du second degré (elle devient affine).

L'écriture $f(x)=ax^2+bx+c$ s'appelle la forme développée du trinôme. C'est l'une des trois formes équivalentes d'une fonction du second degré, avec la forme factorisée (vue avec le discriminant) et la forme canonique (ci-dessous) : on passe de l'une à l'autre en développant ou en factorisant.

Représentation graphique

La courbe représentative de $f$ est une parabole :
- si $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut (elle admet un minimum) ;
- si $a < 0$, la parabole est tournée vers le bas (elle admet un maximum).

Forme canonique

Toute fonction du second degré peut s'écrire sous la forme canonique :

avec

Le point $S(\alpha\,;\,\beta)$ est le sommet de la parabole, et la droite d'équation $x=\alpha$ est son axe de symétrie.

Méthode pour obtenir la forme canonique

On utilise une identité remarquable en factorisant par $a$. Exemple avec $f(x) = 2x^2-8x+5$ :

Donc $\alpha = 2$ et $\beta = -3$ : le sommet de la parabole est $S(2\,;\,-3)$.

Remarque : on retrouve bien $\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2\times 2} = 2$.

Variations de $f$

|---|---|

Cela découle directement de la forme canonique : $(x-\alpha)^2 \geqslant 0$, donc le signe de $a(x-\alpha)^2$ dépend du signe de $a$, et ce terme est minimal (nul) quand $x=\alpha$.