Discriminant et racines du trinôme

Le discriminant

Pour résoudre l'équation $ax^2+bx+c=0$ (avec $a\neq 0$), on calcule le discriminant :

Théorème (nombre de racines)

|---|---|---|

Exemple

Résolvons $2x^2-3x-2=0$ : $a=2$, $b=-3$, $c=-2$.

$\sqrt{\Delta} = 5$, donc :

Forme factorisée

Lorsque $\Delta \geqslant 0$, le trinôme se factorise :
- si $\Delta>0$ : $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ ;
- si $\Delta=0$ : $f(x) = a(x-x_0)^2$.

Si $\Delta<0$, le trinôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$ (il garde un signe constant).

Somme et produit des racines

Quand $\Delta\geqslant 0$, on a les relations utiles :

Ces relations permettent parfois de retrouver rapidement des racines évidentes (par exemple $x=1$ ou $x=-1$).