Intervalles de confiance

Intervalles de confiance

1. Pourquoi un intervalle plutôt qu'une seule valeur ?

Une estimation ponctuelle comme $\overline{x}_n$ ne donne aucune indication sur sa précision : changer d'échantillon change la valeur obtenue. On préfère donc associer à l'estimation une fourchette de valeurs plausibles pour le paramètre inconnu, accompagnée d'un niveau de confiance.

Définition. Soit $\theta$ un paramètre inconnu et $\alpha \in (0,1)$ un seuil fixé (typiquement $\alpha = 0{,}05$ ou $\alpha=0{,}01$). Un intervalle de confiance au niveau $1-\alpha$ pour $\theta$ est un intervalle aléatoire $[A_n, B_n]$, construit à partir de l'échantillon, tel que :

Interprétation fréquentiste — point essentiel à ne jamais confondre : ce n'est pas $\theta$ qui est aléatoire, mais l'intervalle $[A_n,B_n]$ (il dépend de l'échantillon tiré). Si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois et que l'on construit l'intervalle à chaque fois, environ $(1-\alpha)\times 100\%$ des intervalles obtenus contiendront la vraie valeur $\theta$. Pour un échantillon particulier, l'intervalle calculé soit contient $\theta$, soit ne le contient pas — on ne dit jamais « $\theta$ a 95% de chances d'être dans cet intervalle ».

2. Intervalle de confiance pour une moyenne, variance connue

On suppose $X_1,\dots,X_n$ i.i.d. de loi $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ (ou $n$ assez grand pour invoquer le théorème central limite), avec $\sigma^2$ connue. On sait que :

En notant $z_{\alpha/2}$ le quantile de la loi $\mathcal N(0,1)$ tel que $P(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2$ (donc $P(-z_{\alpha/2} \leq Z \leq z_{\alpha/2}) = 1-\alpha$ par symétrie de la loi normale), on a :

En isolant $\mu$ dans la double inégalité :

Intervalle de confiance (variance connue) :

Valeurs usuelles de $z_{\alpha/2}$ :

|---|---|---|

Exemple résolu. Une étude mesure la taille de $n=36$ individus et obtient $\overline x = 170$ cm. On suppose connu $\sigma = 12$ cm. Construire un IC à $95\%$ pour $\mu$.

On a $z_{0{,}025} = 1{,}960$, et $\dfrac{\sigma}{\sqrt n} = \dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$. La marge d'erreur est $z_{0{,}025}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n} = 1{,}960 \times 2 = 3{,}92$. L'intervalle est :

3. Intervalle de confiance pour une moyenne, variance inconnue (loi de Student)

En pratique, $\sigma^2$ est presque toujours inconnue : on la remplace par son estimateur sans biais $S_n^2 = \dfrac{1}{n-1}\displaystyle\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X_n)^2$ (vu en leçon précédente). On perd alors la normalité exacte du pivot, mais on dispose du résultat suivant.

Théorème. Si $X_1,\dots,X_n$ sont i.i.d. de loi $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$, alors :

suit une loi de Student à $n-1$ degrés de liberté. (La loi de Student a des queues plus épaisses que la loi normale, ce qui traduit l'incertitude supplémentaire due à l'estimation de $\sigma$.)

En notant $t_{\alpha/2,\,n-1}$ le quantile de la loi $\mathcal T(n-1)$ tel que $P(T>t_{\alpha/2,\,n-1})=\alpha/2$, le même raisonnement qu'en section 2 donne :

Intervalle de confiance (variance inconnue) :

Pour $n$ grand (typiquement $n \geq 30$), la loi de Student $\mathcal T(n-1)$ est très proche de $\mathcal N(0,1)$, et l'on peut utiliser $z_{\alpha/2}$ à la place de $t_{\alpha/2,n-1}$ sans erreur pratique significative ; pour $n$ petit, l'usage de la loi de Student est indispensable.

Exemple résolu. Sur un échantillon de $n=16$ pièces, on mesure une longueur moyenne $\overline x = 25$ cm avec un écart-type corrigé $s = 4$ cm. Construire un IC à $95\%$ pour $\mu$ (on suppose la longueur gaussienne).

Degrés de liberté : $n-1=15$. Dans la table de Student, $t_{0{,}025,\,15} = 2{,}131$. La marge d'erreur est $t_{0{,}025,15}\cdot\dfrac{s}{\sqrt n} = 2{,}131 \times \dfrac{4}{\sqrt{16}} = 2{,}131 \times 1 = 2{,}131$. L'intervalle est :

4. Intervalle de confiance pour une proportion

Soit $X_1,\dots,X_n$ i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre $p$ inconnu (par exemple : un individu possède ou non une caractéristique). L'estimateur naturel est $\widehat p = \overline X_n$, de variance $\dfrac{p(1-p)}{n}$ (vu en leçon précédente).

Pour $n$ assez grand (condition usuelle : $n\widehat p \geq 5$ et $n(1-\widehat p)\geq 5$), le théorème central limite permet d'approcher la loi de $\widehat p$ par une loi normale, et l'on remplace $p(1-p)$ (inconnu) par son estimation $\widehat p(1-\widehat p)$ :

Intervalle de confiance pour une proportion (approximation normale) :

Exemple résolu. Un sondage auprès de $n=400$ personnes trouve $\widehat p = 0{,}45$ d'opinions favorables. Construire un IC à $95\%$ pour la proportion réelle $p$ dans la population.

Vérification des conditions : $n\widehat p = 180 \geq 5$ et $n(1-\widehat p)=220\geq 5$, l'approximation normale est valide. On a $\sqrt{\dfrac{\widehat p(1-\widehat p)}{n}} = \sqrt{\dfrac{0{,}45\times 0{,}55}{400}} = \sqrt{\dfrac{0{,}2475}{400}} = \sqrt{0{,}00061875} \approx 0{,}02487$. La marge d'erreur est $1{,}960 \times 0{,}02487 \approx 0{,}0488$. L'intervalle est :

5. Largeur de l'intervalle et taille de l'échantillon

La largeur (ou amplitude) d'un IC est $2\times(\text{marge d'erreur})$. Elle diminue :
- quand $n$ augmente (en $1/\sqrt n$, donc lentement : il faut multiplier $n$ par $4$ pour diviser la largeur par $2$) ;
- quand le niveau de confiance $1-\alpha$ diminue (un IC à $90\%$ est plus étroit qu'un IC à $99\%$, car on accepte davantage de risque de se tromper) ;
- quand la dispersion ($\sigma$ ou $\sigma^2$) diminue.

Détermination de la taille d'échantillon minimale. Pour garantir une marge d'erreur $e$ au plus avec une proportion (cas le plus défavorable $p=0{,}5$, qui maximise $p(1-p)$), on résout $z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{0{,}25}{n}} \leq e$, soit :

Exemple résolu. Quelle taille d'échantillon minimale pour garantir une marge d'erreur d'au plus $3\%$ au niveau $95\%$, dans le cas le plus défavorable ?

$n \geq \dfrac{1{,}960^2 \times 0{,}25}{0{,}03^2} = \dfrac{3{,}8416\times 0{,}25}{0{,}0009} = \dfrac{0{,}9604}{0{,}0009} \approx 1067{,}1$. On arrondit à l'entier supérieur (il faut toujours arrondir vers le haut pour une taille d'échantillon, car arrondir vers le bas ne garantirait plus la précision visée) : $n \geq 1068$.

6. Synthèse

|---|---|---|

Retenir la structure commune : estimation $\pm$ quantile $\times$ erreur-type. C'est ce schéma général qui sera réinterprété, dans la leçon suivante, comme la « région de non-rejet » d'un test d'hypothèses.