Valeurs propres et vecteurs propres

Valeurs propres et vecteurs propres

1. Définitions

Soit $A\in\mathcal{M}_n$. Un scalaire $\lambda\in\mathbb{R}$ est une valeur propre de $A$ s'il existe $v\neq0$ tel que :

$v$ est alors un vecteur propre associé à $\lambda$.

Sous-espace propre : $E_\lambda = \ker(A-\lambda I) = \{v : Av=\lambda v\}$.

2. Polynôme caractéristique

C'est un polynôme de degré $n$ en $\lambda$. Les valeurs propres de $A$ sont les racines de $\chi_A$.

Formules :
- $\chi_A(0) = \det(A)$
- Coefficient de $(-\lambda)^{n-1}$ : $\text{tr}(A)$
- $\text{tr}(A) = \sum_i \lambda_i$ et $\det(A)=\prod_i\lambda_i$

3. Diagonalisation

$A$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale : $\exists P$ inversible tel que $P^{-1}AP=D=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$.

Condition suffisante : $A$ a $n$ valeurs propres distinctes $\Rightarrow$ $A$ diagonalisable.

Condition nécessaire et suffisante : pour toute valeur propre $\lambda_i$, $\dim E_{\lambda_i} = m_i$ (multiplicité algébrique).

4. Applications de la diagonalisation

Si $A=PDP^{-1}$, alors $A^n=PD^nP^{-1}$ (utile pour calculer les puissances).

Systèmes d'EDL : si $X'=AX$, le changement de variable $Y=P^{-1}X$ découple le système en $Y'=DY$.

5. Théorème de Cayley-Hamilton

Tout endomorphisme $A$ annule son propre polynôme caractéristique : $\chi_A(A)=0$.