Déterminants et inversibilité

Déterminants

1. Définition

Le déterminant de $A\in\mathcal{M}_n$ est un scalaire $\det(A)\in\mathbb{R}$ défini de façon unique par :
1. Multilinéarité par rapport aux colonnes (ou lignes)
2. Alternance (échanger deux colonnes change le signe)
3. $\det(I_n)=1$

Développement selon la première ligne :

où $A_{1j}$ est la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne $1$ et la colonne $j$.

2. Propriétés fondamentales

- $\det(AB)=\det(A)\det(B)$
- $\det(A^T)=\det(A)$
- $\det(\lambda A)=\lambda^n\det(A)$
- $A$ inversible $\Leftrightarrow \det(A)\neq0$, et alors $\det(A^{-1})=1/\det(A)$
- Règle de Sarrus (pour $3\times3$)

3. Formule pour $2\times2$ et $3\times3$

Pour $3\times3$ : développer selon une ligne ou une colonne.

4. Cofacteurs et inverse

Le cofacteur $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A_{ij})$.

Formule d'inversion : $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)$ où $\text{adj}(A)_{ij}=C_{ji}$.

5. Formule de Cramer

Pour $AX=B$ avec $A$ inversible : $x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)}$ où $A_i$ est $A$ avec la $i$-ième colonne remplacée par $B$.