Matrices et opérations

Matrices et opérations

1. Définitions

Une matrice $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ est un tableau de $m$ lignes et $n$ colonnes. Le coefficient en ligne $i$, colonne $j$ est noté $a_{ij}$.

Matrices spéciales : identité $I_n$, nulle $0$, diagonale, triangulaire, symétrique ($A^T=A$), antisymétrique ($A^T=-A$).

2. Opérations

- Addition : $(A+B)_{ij} = a_{ij}+b_{ij}$ (même taille).
- Multiplication scalaire : $(\lambda A)_{ij}=\lambda a_{ij}$.
- Produit : $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}$ pour $A\in\mathcal{M}_{m,p}$, $B\in\mathcal{M}_{p,n}$.
- Transposée : $(A^T)_{ij}=a_{ji}$.

Propriétés du produit :
- Associatif : $(AB)C=A(BC)$
- Distributif sur l'addition
- Non commutatif en général : $AB\neq BA$
- $(AB)^T = B^T A^T$, $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ si inversibles

3. Inversibilité

$A\in\mathcal{M}_n$ est inversible (ou régulière) si $\exists B$ tel que $AB=BA=I_n$. Alors $B=A^{-1}$ est unique.

$A$ est inversible $\Leftrightarrow \det(A)\neq0 \Leftrightarrow \text{rang}(A)=n$.

4. Matrices par blocs

On peut découper une matrice en blocs et effectuer les opérations bloc par bloc (en respectant les compatibilités de tailles).

5. Trace

$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$. Propriétés : $\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)$, $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$, $\text{tr}(A^T)=\text{tr}(A)$.