Combinaisons et coefficients binomiaux

Choisir sans ordonner

Dans les arrangements, l'ordre des éléments choisis avait de l'importance (1er, 2e, 3e...). On s'intéresse maintenant aux situations où seul le groupe d'éléments choisis compte, sans tenir compte de l'ordre.

### Définition

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $p$ un entier tel que $0\leqslant p\leqslant n$. Une combinaison de $p$ éléments de $E$ est un sous-ensemble (une partie) de $E$ contenant exactement $p$ éléments, sans tenir compte de l'ordre.

> Coefficient binomial : le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ est noté $\dbinom{n}{p}$ et vaut :
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Lien avec les arrangements : un arrangement de $p$ éléments parmi $n$ consiste à choisir $p$ éléments (combinaison) puis à les ordonner ($p!$ façons de les ordonner). On a donc :

### Exemple complet

Énoncé : dans une classe de 25 élèves, on souhaite former un groupe de 4 délégués (sans rôle distinct entre eux : pas de président, juste 4 personnes). Combien de groupes différents sont possibles ?

Résolution : ici l'ordre n'a pas d'importance (un groupe {Alice, Bob, Chloé, David} est le même groupe quel que soit l'ordre dans lequel on les cite). On utilise donc une combinaison avec $n=25$ et $p=4$ :

Il existe donc $12\,650$ groupes de 4 délégués possibles.

### Propriétés des coefficients binomiaux

> Propriétés à connaître :
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La formule de Pascal permet de construire le triangle de Pascal, où chaque coefficient binomial s'obtient en additionnant les deux coefficients juste au-dessus de lui :

| $n\backslash p$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | | | | |
| 1 | 1 | 1 | | | |
| 2 | 1 | 2 | 1 | | |
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |

### Lien avec la loi binomiale

Vous avez déjà rencontré les coefficients binomiaux dans le calcul des probabilités d'une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ (probabilité de succès), alors pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$ :

Le terme $\dbinom{n}{k}$ compte exactement le nombre de façons de choisir lesquels, parmi les $n$ répétitions de l'épreuve, sont les $k$ succès — sans tenir compte de l'ordre dans lequel ils surviennent. La combinatoire est donc la justification profonde de cette formule.

### Méthode

1. Si l'ordre des éléments choisis n'a pas d'importance : c'est une combinaison, on utilise $\dbinom{n}{p}$.
2. Vérifier si l'ordre compte (arrangement, $A_n^p$) ou non (combinaison, $\dbinom{n}{p}$) avant de se lancer dans le calcul — c'est l'erreur la plus fréquente.
3. Utiliser les propriétés (symétrie, Pascal) pour simplifier les calculs ou vérifier un résultat.