Actions de groupe

Actions de groupe

1. Définition

Une action d'un groupe $G$ sur un ensemble $X$ est une application $G\times X\to X$, $(g,x)\mapsto g\cdot x$, vérifiant $e\cdot x=x$ (élément neutre) et $(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)$ pour tous $g,h\in G$, $x\in X$. De façon équivalente, c'est un morphisme $G\to\text{Bij}(X)$ (le groupe des bijections de $X$).

Exemples : $G=S_n$ agissant sur $X=\{1,\dots,n\}$ par permutation directe ; $G$ agissant sur lui-même par conjugaison : $g\cdot x=gxg^{-1}$ ; $G$ agissant sur lui-même par translation : $g\cdot x=gx$ ; $G=\text{GL}_n(\mathbb{R})$ agissant sur $X=\mathbb{R}^n$ par multiplication matricielle.

2. Orbites et stabilisateurs

L'orbite de $x\in X$ est $\text{Orb}(x)=\{g\cdot x:g\in G\}\subseteq X$. Le stabilisateur de $x$ est $\text{Stab}(x)=\{g\in G:g\cdot x=x\}$, qui est toujours un sous-groupe de $G$. Les orbites partitionnent $X$ (relation d'équivalence $x\sim y\iff\exists g, y=g\cdot x$).

3. Théorème orbite-stabilisateur

Théorème : pour tout $x\in X$ (et $G$ fini), il existe une bijection entre $\text{Orb}(x)$ et $G/\text{Stab}(x)$ (l'ensemble des classes à gauche de $\text{Stab}(x)$), donnant :

Exemple résolu. $G=S_3$ agit sur $X=\{1,2,3\}$ par permutation. L'orbite de $1$ est $\{1,2,3\}$ tout entier (on peut envoyer $1$ sur n'importe quel élément), donc $|\text{Orb}(1)|=3$. Comme $|G|=|S_3|=6$, le théorème donne $|\text{Stab}(1)|=6/3=2$ — en effet, $\text{Stab}(1)=\{\text{id},(2\,3)\}$, les permutations fixant $1$.

4. Action par conjugaison et centre

Pour l'action de $G$ sur lui-même par conjugaison ($g\cdot x=gxg^{-1}$), l'orbite de $x$ est sa classe de conjugaison, et le stabilisateur de $x$ est son centralisateur $C_G(x)=\{g\in G:gx=xg\}$. Le théorème orbite-stabilisateur donne $|\text{classe de }x|=|G|/|C_G(x)|$.

Un élément $x$ a une classe de conjugaison réduite à lui seul ($\{x\}$) si et seulement si $x$ commute avec tout le groupe, c'est-à-dire $x\in Z(G)$ (le centre de $G$).

5. Équation aux classes

En partitionnant $G$ selon ses classes de conjugaison, et en isolant celles réduites à un singleton (les éléments du centre $Z(G)$) :

où la somme porte sur un représentant $x_i$ de chaque classe de conjugaison non triviale (de cardinal $>1$). C'est l'équation aux classes, outil central pour étudier la structure des groupes finis (notamment les $p$-groupes, leçon suivante).

6. Exemple résolu — le centre de $S_3$

Les classes de conjugaison de $S_3$ sont : $\{e\}$ (taille $1$), les 3-cycles $\{(123),(132)\}$ (taille $2$), les transpositions $\{(12),(13),(23)\}$ (taille $3$). Équation aux classes : $6=1+2+3$. Comme seule la classe de $e$ est un singleton, $Z(S_3)=\{e\}$ : $S_3$ est de centre trivial.

7. Récapitulatif

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