p-groupes et premier théorème de Sylow

$p$-groupes et premier théorème de Sylow

1. Définition d'un $p$-groupe

Pour $p$ premier, un $p$-groupe est un groupe fini d'ordre une puissance de $p$ (c'est-à-dire $|G|=p^k$ pour un entier $k\geq0$). Ces groupes ont une structure remarquablement contrainte, exploitée systématiquement dans la théorie de Sylow.

2. Centre non trivial des $p$-groupes

Théorème : tout $p$-groupe non trivial ($|G|=p^k$, $k\geq1$) a un centre non trivial : $Z(G)\neq\{e\}$. C'est une généralisation directe du résultat déjà démontré pour $|G|=p^2$ (leçon précédente) : l'argument par l'équation aux classes s'étend à n'importe quelle puissance de $p$, car tout sous-groupe propre de $G$ a un ordre qui est encore une puissance de $p$ strictement inférieure, donc $p$ divise toujours $|G|/|C_G(x_i)|$ pour les classes non triviales.

3. Conséquence : tout groupe d'ordre $p^2$ est abélien

Théorème : si $|G|=p^2$, alors $G$ est abélien (donc isomorphe à $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ ou à $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$).

Esquisse de preuve : par le théorème précédent, $Z(G)\neq\{e\}$, donc $|Z(G)|\in\{p,p^2\}$ (Lagrange). Si $|Z(G)|=p^2$, alors $Z(G)=G$, donc $G$ est abélien (par définition du centre). Si $|Z(G)|=p$, le quotient $G/Z(G)$ est d'ordre $p$, donc cyclique (tout groupe d'ordre premier est cyclique) ; un argument classique montre alors que $G/Z(G)$ cyclique implique $G$ abélien (donc $G=Z(G)$), contredisant $|Z(G)|=p<p^2$. Seul le premier cas est donc possible.

4. Premier théorème de Sylow (existence)

Théorème (Sylow I) : soit $G$ un groupe fini d'ordre $|G|=p^n\cdot m$ avec $p$ premier, $p\nmid m$. Alors $G$ possède un sous-groupe d'ordre $p^n$, appelé $p$-sous-groupe de Sylow (ou simplement « $p$-Sylow »).

C'est un résultat d'existence remarquable : même si $G$ n'est pas un $p$-groupe lui-même, il contient toujours un sous-groupe réalisant la plus grande puissance de $p$ divisant $|G|$.

Exemple résolu. $|G|=12=2^2\times3$. Sylow I garantit l'existence d'un sous-groupe d'ordre $4$ (un $2$-Sylow) et d'un sous-groupe d'ordre $3$ (un $3$-Sylow) — sans préciser combien il y en a exactement (question traitée par le troisième théorème de Sylow, leçon suivante).

5. Pourquoi Sylow I est un théorème puissant

Le théorème de Sylow garantit l'existence de sous-groupes de tailles précises (les puissances maximales de chaque facteur premier), ce qui est un résultat non trivial : en général, un groupe d'ordre $n$ n'a pas forcément de sous-groupe pour chaque diviseur $d$ de $n$ (contrairement à ce qu'on pourrait naïvement attendre par analogie avec $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$). Sylow I montre que c'est au moins vrai pour les puissances de facteurs premiers maximales.

Contre-exemple instructif (hors Sylow) : $A_4$ (groupe alterné, ordre $12$) n'a aucun sous-groupe d'ordre $6$, bien que $6$ divise $12$ — Sylow ne s'applique pas ici car $6$ n'est pas une puissance d'un nombre premier.

6. Récapitulatif

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