Développer avec les identités remarquables

Introduction

Au lieu de développer une expression comme $(x+5)^2$ en repassant chaque fois par la distributivité, on peut utiliser des formules toutes faites, appelées identités remarquables, qui accélèrent considérablement le calcul.

Les trois identités remarquables

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📌 Méthode

Pour développer une expression de la forme $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ ou $(a+b)(a-b)$ : repérer $a$ et $b$, puis appliquer directement la formule correspondante, sans repasser par la distributivité terme à terme.

Pourquoi ces formules sont-elles vraies ?

On peut les retrouver avec la double distributivité : $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2+ab+ba+b^2 = a^2+2ab+b^2$ (car $ab=ba$).

Exemples

✅ Exemple simple — Développer $(x+5)^2$

On identifie $a = x$ et $b = 5$ :

📘 Exemple intermédiaire — Développer $(2x-3)^2$

On identifie $a = 2x$ et $b = 3$ :

Attention : $(2x)^2 = 4x^2$, et non $2x^2$ !

🔴 Exemple avancé — Développer $(3x+4)(3x-4)$

On reconnaît la forme $(a+b)(a-b)$ avec $a = 3x$ et $b = 4$ :

On peut vérifier en développant terme à terme : $9x^2 -12x+12x-16 = 9x^2-16$ ✓ (les termes en $x$ s'éliminent, ce qui est la propriété clé de cette identité).

À retenir

- $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ : le carré du premier, plus le double produit, plus le carré du second.
- $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ : même formule, mais le double produit est soustrait.
- $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ : différence des carrés, les termes en $ab$ s'annulent toujours.
- Bien repérer $a$ et $b$ avant d'appliquer la formule, en particulier quand $a$ ou $b$ contient déjà un coefficient (ex : $2x$).