Factoriser avec les identités remarquables

Introduction

Factoriser, c'est transformer une somme en un produit. Les identités remarquables se lisent aussi « à l'envers » pour factoriser certaines expressions développées.

Les trois formules, dans le sens « factorisation »

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📌 Méthode

1. Vérifier si l'expression a la forme d'une différence de deux carrés ($a^2-b^2$) : c'est souvent le cas le plus facile à repérer.

2. Sinon, vérifier si l'expression a la forme d'un carré développé : trois termes, dont deux sont des carrés ($a^2$ et $b^2$) et le troisième est le double produit $\pm 2ab$.

3. Identifier précisément $a$ et $b$, puis écrire la forme factorisée correspondante.

Le piège classique : une différence de carrés cachée

Une expression comme $4x^2-9$ n'a, à première vue, que deux termes — mais $4x^2 = (2x)^2$ et $9=3^2$ sont tous les deux des carrés parfaits. C'est donc bien une différence de carrés, factorisable en $(2x-3)(2x+3)$.

Exemples

✅ Exemple simple — Factoriser $x^2-25$

On reconnaît une différence de carrés : $x^2-25 = x^2-5^2$, avec $a=x$ et $b=5$ :

📘 Exemple intermédiaire — Factoriser $x^2+10x+25$

On reconnaît trois termes : $x^2$ (carré de $x$), $25=5^2$ (carré de $5$), et $10x = 2\times x\times 5$ (double produit). C'est la forme $a^2+2ab+b^2$ avec $a=x$, $b=5$ :

🔴 Exemple avancé — Factoriser $9x^2-12x+4$ (piège : repérer le bon $a$ et le bon $b$)

On a $9x^2=(3x)^2$ et $4=2^2$, donc $a=3x$ et $b=2$. On vérifie le double produit : $2\times 3x\times 2 = 12x$. Comme le terme est $-12x$, on retient la forme $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ :

Vérification : $(3x-2)^2 = 9x^2-12x+4$ ✓ (on peut redévelopper pour contrôler son résultat).

À retenir

- $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ et $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ : repérer les deux carrés puis vérifier le double produit.
- $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ : dès que l'on voit une différence de deux carrés parfaits, même cachés comme $4x^2-9=(2x)^2-3^2$, on peut factoriser ainsi.
- Toujours vérifier sa factorisation en redéveloppant le résultat trouvé : on doit retomber sur l'expression de départ.