Limite d'une suite numérique

Convergence et divergence

Une suite $(u_n)$ peut, lorsque $n$ devient très grand, se rapprocher d'un nombre fixe, ou au contraire s'éloigner indéfiniment.

Définition (suite convergente) : on dit que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On écrit alors :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$$

Si une suite ne converge vers aucun réel, on dit qu'elle diverge. La divergence peut se manifester de deux façons :

- $u_n$ tend vers $+\infty$ (ou $-\infty$) : pour tout réel $A$, $u_n > A$ (resp. $u_n < A$) à partir d'un certain rang ;
- $u_n$ n'a pas de limite du tout (exemple : $u_n = (-1)^n$, qui oscille entre $-1$ et $1$).

Limites des suites usuelles

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Opérations sur les limites

Les règles sont les mêmes que pour les fonctions : somme, produit, quotient des limites, avec les mêmes formes indéterminées à traiter : $+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$.

Exemple : $u_n = 3n - \dfrac{1}{n}$. On a $\lim 3n = +\infty$ et $\lim -\dfrac{1}{n} = 0$, donc par somme $\lim u_n = +\infty$.

Suites arithmétiques et géométriques :

- Une suite arithmétique de raison $r$ : si $r>0$, $\lim u_n = +\infty$ ; si $r<0$, $\lim u_n = -\infty$ ; si $r=0$, la suite est constante.

- Une suite géométrique $u_n = u_0 \times q^n$ dépend fortement de $q$ (voir leçon suivante).