Suites géométriques et théorèmes de comparaison

Limite de $q^n$ selon les valeurs de $q$

Pour une suite géométrique $u_n = q^n$, le comportement à l'infini dépend entièrement de la raison $q$ :

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Exemple : $\lim_{n\to+\infty} 0{,}5^n = 0$ car $-1 < 0{,}5 < 1$. Mais $\lim_{n\to+\infty} 1{,}5^n = +\infty$ car $1{,}5 > 1$.

Théorèmes de comparaison

Théorème de comparaison (cas infini) : si, à partir d'un certain rang, $u_n \geqslant v_n$ et $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$ (et de façon symétrique pour $-\infty$).

Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) : si, à partir d'un certain rang, $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$, et si $\lim v_n = \lim w_n = \ell$, alors $\lim u_n = \ell$.

Exemple d'application : soit $u_n = \dfrac{\sin(n)}{n}$. On sait que $-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1$, donc :

Comme $-\dfrac{1}{n} \to 0$ et $\dfrac{1}{n}\to 0$, le théorème des gendarmes donne $\lim u_n = 0$.

Méthode : ces théorèmes sont précieux lorsqu'on ne peut pas calculer directement la limite (suite trop complexe, présence de $\sin$, $\cos$, ou de termes oscillants).