Limites de fonctions et asymptotes

Limite en un point et à l'infini

On étudie le comportement d'une fonction $f$ soit lorsque $x$ se rapproche d'une valeur précise $a$ (limite en un point), soit lorsque $x$ devient très grand ou très petit (limite en $+\infty$ ou $-\infty$).

Limite en $+\infty$ : $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ se rapproche d'autant plus de $\ell$ que $x$ devient grand.

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Limite infinie en un point : $\lim_{x\to a} f(x) = +\infty$ signifie que $f(x)$ devient arbitrairement grand quand $x$ se rapproche de $a$.

Limites usuelles

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Asymptotes

Asymptote horizontale : si $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (réel fini), alors la droite d'équation $y=\ell$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$.

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Asymptote verticale : si $\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$, alors la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale.

Exemple : pour $f(x) = \dfrac{1}{x}$, la droite $y=0$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$, et la droite $x=0$ est asymptote verticale.

Opérations sur les limites

Les règles de somme, produit et quotient des limites s'appliquent comme pour les suites, avec les mêmes formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0\times\infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$. On lève l'indétermination en factorisant par le terme de plus haut degré (limite en $\pm\infty$) ou en simplifiant l'expression (limite en un point fini).