Continuité d'une fonction

Notion de continuité

Définition (intuitive) : une fonction $f$ est continue en un point $a$ si sa courbe représentative ne présente pas de "saut" en $a$, c'est-à-dire si :

$$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$

Définition (continuité sur un intervalle) : une fonction est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en chaque point de $I$. Graphiquement, on peut tracer sa courbe sans lever le crayon.

Fonctions usuelles continues

Toutes les fonctions de référence étudiées au lycée sont continues sur leur ensemble de définition :

- les fonctions polynômes (sur $\mathbb{R}$) ;
- la fonction racine carrée (sur $[0;+\infty[$) ;
- les fonctions $\exp$ et $\ln$ (sur leur ensemble de définition) ;
- les fonctions $\sin$ et $\cos$ (sur $\mathbb{R}$) ;
- toute somme, produit, quotient (où le dénominateur ne s'annule pas) ou composée de fonctions continues est continue.

Lien avec la dérivabilité : si une fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en ce point (mais la réciproque est fausse : par exemple $f(x)=|x|$ est continue en $0$ mais n'y est pas dérivable).

Exemple de discontinuité

La fonction partie entière, ou une fonction définie par morceaux dont les morceaux ne "se raccordent" pas, présente des points de discontinuité où $\lim_{x\to a^-} f(x) \neq \lim_{x\to a^+} f(x)$.