Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé du théorème

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.

Intuitivement : si on trace une courbe continue d'un point à un autre, elle passe forcément par toutes les valeurs intermédiaires.

Corollaire (cas de la stricte monotonie)

Cas particulier très utilisé : si $f$ est continue et strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un unique réel $c \in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.

C'est ce corollaire qui permet de démontrer l'existence et l'unicité d'une solution à une équation $f(x)=k$, et de l'encadrer par dichotomie ou à la calculatrice.

Méthode pour appliquer le TVI

1. Vérifier que $f$ est continue sur l'intervalle considéré (presque toujours vrai pour les fonctions usuelles).
2. Étudier les variations de $f$ (tableau de variations) pour vérifier la stricte monotonie sur l'intervalle choisi.
3. Calculer ou encadrer $f(a)$ et $f(b)$, et vérifier que $k$ est bien compris entre les deux.
4. Conclure à l'existence et l'unicité de la solution $c$ telle que $f(c)=k$.

Exemple : soit $f(x) = x^3+x-1$ sur $[0;1]$. On a $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$. Comme $f$ est continue (polynôme) et strictement croissante (somme de fonctions croissantes) sur $[0;1]$, le TVI garantit l'existence d'un unique $c\in[0;1]$ tel que $f(c)=0$.