Méthodes de raisonnement mathématique

Méthodes de raisonnement mathématique

### 1. Raisonnement direct

Le raisonnement direct consiste à partir de l'hypothèse $P$ et à enchaîner une suite d'implications vraies jusqu'à atteindre la conclusion $Q$ :

Exemple : Montrer que si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair. On suppose $n$ pair : $n = 2k$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Alors $n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$, qui est bien de la forme $2 \times \text{entier}$, donc $n^2$ est pair.

### 2. Raisonnement par contraposée

Pour montrer $P \Rightarrow Q$, on peut montrer la contraposée $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$, logiquement équivalente (section 3 de la leçon 1). Cette méthode est utile lorsque la négation de $Q$ donne plus de prise au calcul que $P$ lui-même.

Exemple : Montrer que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. On montre la contraposée : si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair. En effet $n = 2k+1 \Rightarrow n^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1$, qui est impair. Par contraposition, $n^2$ pair $\Rightarrow n$ pair.

### 3. Raisonnement par l'absurde

Pour montrer qu'une proposition $P$ est vraie, on suppose $\overline{P}$ et on en déduit une contradiction (une proposition manifestement fausse, ou deux propositions contradictoires entre elles). On conclut alors que $\overline{P}$ est fausse, donc $P$ est vraie.

Exemple classique : Montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel. Par l'absurde, supposons $\sqrt{2} = p/q$ avec $p, q \in \mathbb{N}^*$ premiers entre eux (fraction irréductible). Alors $p^2 = 2q^2$, donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair (section 2) : $p = 2k$. En substituant : $4k^2 = 2q^2$, soit $q^2 = 2k^2$, donc $q^2$ est pair, donc $q$ est pair. Mais alors $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, contredisant le fait qu'ils sont premiers entre eux. Cette contradiction montre que $\sqrt{2}$ ne peut pas s'écrire comme une fraction : il est irrationnel. $\square$

### 4. Raisonnement par disjonction de cas

On découpe l'ensemble des situations possibles en plusieurs cas exhaustifs (qui couvrent toutes les possibilités), et on prouve la proposition dans chaque cas séparément.

Exemple : Montrer que pour tout entier $n$, $n(n+1)$ est pair. Cas 1 : $n$ est pair, $n=2k$ : alors $n(n+1) = 2k(n+1)$ est pair. Cas 2 : $n$ est impair, donc $n+1$ est pair, $n+1=2k$ : alors $n(n+1) = 2kn$ est pair. Les deux cas étant exhaustifs (tout entier est pair ou impair), la propriété est vraie pour tout $n$.

### 5. Raisonnement par récurrence simple

Pour montrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$, le principe de récurrence demande de vérifier :

- Initialisation : $P(n_0)$ est vraie.
- Hérédité : $\forall n \geq n_0,\ P(n) \Rightarrow P(n+1)$.
- Conclusion : par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.

Exemple complet : Montrer que $\forall n \in \mathbb{N},\ \displaystyle\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.

- Initialisation ($n=0$) : $\sum_{k=0}^{0} k = 0$ et $\frac{0 \times 1}{2} = 0$. L'égalité est vraie.
- Hérédité : on suppose $P(n)$ vraie, c'est-à-dire $\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ (hypothèse de récurrence). Montrons $P(n+1)$ :

ce qui est exactement la formule attendue pour $n+1$. Donc $P(n) \Rightarrow P(n+1)$.
- Conclusion : par récurrence, $\forall n \in \mathbb{N},\ \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$. $\square$

### 6. Récurrence forte (ou double)

La récurrence forte autorise à utiliser, dans l'étape d'hérédité, toutes les hypothèses $P(n_0), P(n_0+1), \ldots, P(n)$ (et pas seulement $P(n)$) pour démontrer $P(n+1)$ :

C'est indispensable lorsque l'étape de récurrence a besoin de remonter plus loin que le rang précédent (par exemple pour des suites définies par $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $u_{n-1}$).

Exemple : Soit la suite définie par $u_0=1, u_1=1$ et $u_{n+2} = u_{n+1}+u_n$ pour tout $n$. Montrer que $u_n \leq 2^n$ pour tout $n \geq 0$.

- Initialisations (il en faut deux, car la relation relie un terme à ses deux prédécesseurs) : $u_0=1\leq 2^0=1$ ; $u_1=1\leq 2^1=2$.
- Hérédité forte : on suppose $u_k \leq 2^k$ pour tout $k \leq n+1$ (avec $n\geq 0$), et on montre $u_{n+2}\leq 2^{n+2}$ :

- Conclusion : par récurrence forte, $u_n \leq 2^n$ pour tout $n \geq 0$. $\square$

### 7. Analyse-synthèse

La méthode d'analyse-synthèse s'utilise pour des problèmes d'existence et d'unicité :

- Analyse : on suppose qu'un objet vérifiant les conditions demandées existe, et on en déduit, par des implications nécessaires, sa forme précise (cela restreint les candidats possibles, mais ne prouve pas encore l'existence).
- Synthèse : on vérifie que le candidat trouvé à l'étape d'analyse satisfait bien toutes les conditions initiales (cela prouve l'existence effective).

Exemple : Montrer que toute fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire $g$ et d'une fonction impaire $h$.

Analyse : si $f = g+h$ avec $g$ paire et $h$ impaire, alors en remplaçant $x$ par $-x$ : $f(-x) = g(-x)+h(-x) = g(x)-h(x)$. On a donc le système $f(x)=g(x)+h(x)$ et $f(-x)=g(x)-h(x)$, d'où nécessairement :

Le candidat est donc entièrement déterminé : c'est l'unicité.

Synthèse : on vérifie que ces $g, h$ ainsi définis conviennent. $g(-x) = \frac{f(-x)+f(x)}{2} = g(x)$ : $g$ est bien paire. $h(-x) = \frac{f(-x)-f(x)}{2} = -h(x)$ : $h$ est bien impaire. Et $g(x)+h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2} = f(x)$ : la décomposition est correcte. C'est l'existence. $\square$

### 8. Comment choisir sa méthode

| Situation | Méthode recommandée |
|---|---|
| Hypothèse riche, calcul direct possible | Raisonnement direct |
| La négation de la conclusion est plus simple à manipuler | Contraposée |
| Énoncé d'impossibilité ou d'irrationalité | Absurde |
| Plusieurs cas séparés couvrant toutes les possibilités | Disjonction de cas |
| Propriété indexée par $\mathbb{N}$ | Récurrence (simple ou forte selon la dépendance) |
| Existence ET unicité d'un objet | Analyse-synthèse |