La loi normale centrée réduite

Une nouvelle loi à densité : la loi normale centrée réduite

Tu as déjà rencontré des lois à densité (loi uniforme, loi exponentielle) pour modéliser des variables aléatoires continues. La loi normale est la plus célèbre de toutes : sa courbe en forme de "cloche" apparaît dès que l'on observe un grand nombre de répétitions d'un phénomène aléatoire (tailles, poids, erreurs de mesure, résultats de sondages...).

> Définition. La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite, notée $\mathcal{N}(0,1)$, si elle admet pour densité de probabilité la fonction :
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On ne démontre pas dans ce cours les propriétés de cette fonction (elle est dérivable, positive, et $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,dt = 1$), mais il faut retenir l'allure de sa courbe représentative.

### Allure de la courbe

La courbe de $f$ est une cloche symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (symétrique par rapport à $t=0$), centrée en $0$, qui s'aplatit rapidement de part et d'autre. L'aire totale sous la courbe vaut $1$, comme pour toute densité de probabilité.

Cette symétrie traduit le fait que $Z$ et $-Z$ ont la même loi : les valeurs négatives et positives jouent des rôles symétriques.

### Calcul de probabilités à la calculatrice

Contrairement à la loi uniforme, on ne sait pas calculer une primitive simple de $f$. On utilise donc la calculatrice ou un logiciel pour obtenir directement :

- $P(Z \leqslant z)$ : aire sous la courbe à gauche de $z$ (fonction de répartition, souvent notée touche "normalcdf" ou "NormCD")
- $P(a \leqslant Z \leqslant b)$ : aire sous la courbe entre $a$ et $b$, égale à $P(Z\leqslant b) - P(Z\leqslant a)$

### Propriétés de symétrie

La symétrie de la cloche par rapport à $0$ donne deux propriétés très utiles, valables pour tout réel $z$ :

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Idée : l'aire totale sous la courbe vaut $1$. L'aire à gauche de $-z$ est, par symétrie, égale à l'aire à droite de $z$, donc égale à $1$ moins l'aire à gauche de $z$.

On a aussi, pour tout $z \geqslant 0$ :

### Exemple chiffré complet

Soit $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$. On donne, à la calculatrice : $P(Z \leqslant 1{,}5) \approx 0{,}9332$.

1) Calculer $P(Z \geqslant 1{,}5)$.

2) Calculer $P(Z \leqslant -1{,}5)$.

3) Calculer $P(-1{,}5 \leqslant Z \leqslant 1{,}5)$.

On retrouve bien que la quasi-totalité de la probabilité est concentrée entre $-1{,}5$ et $1{,}5$, ce qui est cohérent avec l'allure en cloche de la densité.