La loi normale générale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$

De la loi centrée réduite à la loi normale générale

La loi $\mathcal{N}(0,1)$ est un cas particulier. En pratique, les grandeurs que l'on modélise (tailles, poids, durées, notes...) ne sont pas centrées en $0$ ni d'écart-type $1$. On généralise donc la loi normale.

> Définition. Soit $\mu \in \mathbb{R}$ et $\sigma > 0$. Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma^2$, notée $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, si la variable centrée réduite
>

> suit la loi $\mathcal{N}(0,1)$.

Le paramètre $\mu$ est l'espérance de $X$ : $E(X) = \mu$. Le paramètre $\sigma$ est l'écart-type de $X$ : $\sigma(X) = \sigma$. La courbe de $X$ est encore une cloche symétrique, mais centrée en $\mu$ (au lieu de $0$) et plus ou moins étalée selon la valeur de $\sigma$ (plus $\sigma$ est grand, plus la cloche est aplatie et large).

### Calculer des probabilités avec $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$

On peut directement utiliser la calculatrice (avec $\mu$ et $\sigma$ en paramètres) pour obtenir $P(X \leqslant x)$ ou $P(a \leqslant X \leqslant b)$. On peut aussi se ramener à $\mathcal{N}(0,1)$ grâce au changement de variable $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$ :

### La règle des "$68$-$95$-$99{,}7$"

Cette règle, très utile pour estimer rapidement des probabilités sans calculatrice, découle directement des propriétés de la loi normale :

> Si $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, alors :
>

>
>

Autrement dit : environ $68\%$ des valeurs sont à moins d'un écart-type de la moyenne, environ $95\%$ à moins de deux écarts-types, et la quasi-totalité ($99{,}7\%$) à moins de trois écarts-types.

### Exemple chiffré complet

La taille $X$ (en cm) des adultes d'une population suit la loi normale $\mathcal{N}(170, 8^2)$, c'est-à-dire $\mu = 170$ et $\sigma = 8$.

1) Quelle est la probabilité qu'un adulte mesure entre $162$ cm et $178$ cm ?

On remarque que $162 = 170 - 8 = \mu - \sigma$ et $178 = 170+8 = \mu+\sigma$. D'après la règle des $68$-$95$-$99{,}7$ :

2) Quelle est la probabilité qu'un adulte mesure entre $154$ cm et $186$ cm ?

On a $154 = \mu - 2\sigma$ et $186 = \mu + 2\sigma$, donc :

3) Quelle est la probabilité qu'un adulte mesure plus de $186$ cm ?

Par symétrie de la cloche autour de $\mu = 170$ :

Une probabilité d'environ $2{,}5\%$ qu'un adulte choisi au hasard mesure plus de $1$m$86$.