Forme algébrique et géométrie du plan complexe

Forme algébrique et géométrie du plan complexe

### 1. Construction du corps $\mathbb{C}$

On définit l'ensemble $\mathbb{C}$ comme $\mathbb{R}^2$ muni de deux opérations :

On note $i = (0,1)$, qui vérifie $i^2 = (0,1)\times(0,1) = (-1, 0) = -1$. En identifiant $(a,0)$ avec le réel $a$, tout élément de $\mathbb{C}$ s'écrit de manière unique sous la forme :

C'est la forme algébrique (ou cartésienne) de $z$. Muni de ces opérations, $(\mathbb{C}, +, \times)$ est un corps commutatif : tout élément non nul possède un inverse, l'addition et la multiplication sont associatives, commutatives, distributives, et $\mathbb{R}$ s'identifie à un sous-corps de $\mathbb{C}$ (les complexes de partie imaginaire nulle).

### 2. Partie réelle, partie imaginaire

Pour $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ :
- $\mathrm{Re}(z) = a$ est la partie réelle
- $\mathrm{Im}(z) = b$ est la partie imaginaire (un réel, malgré son nom)

Égalité de deux complexes : $z = z'$ si et seulement si $\mathrm{Re}(z) = \mathrm{Re}(z')$ et $\mathrm{Im}(z) = \mathrm{Im}(z')$ (identification des parties réelle et imaginaire), conséquence directe de l'unicité de l'écriture algébrique.

On dit que $z$ est :
- réel si $\mathrm{Im}(z) = 0$
- imaginaire pur si $\mathrm{Re}(z) = 0$ (on note alors $z = ib$)

### 3. Conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué de $z = a+ib$ est $\overline{z} = a - ib$.

Propriétés fondamentales : pour tous $z, z' \in \mathbb{C}$,

On en déduit les formules de récupération des parties réelle et imaginaire :

Caractérisation : $z \in \mathbb{R} \iff \overline{z}=z$ et $z$ imaginaire pur $\iff \overline{z}=-z$.

### 4. Module d'un nombre complexe

Pour $z = a+ib$, on définit le module :

car $z\overline{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2+b^2 \in \mathbb{R}_+$. C'est un nombre réel positif qui généralise la valeur absolue ($|z|=0 \iff z=0$).

Propriétés : pour tous $z, z' \in \mathbb{C}$,

Exemple résolu. Calculer le module de $z = 3-4i$.

### 5. Opérations : somme, produit, inverse

Somme : $(a+ib)+(c+id) = (a+c)+i(b+d)$ — on additionne séparément parties réelles et imaginaires.

Produit : $(a+ib)(c+id) = ac+iad+ibc+i^2bd = (ac-bd)+i(ad+bc)$, en utilisant $i^2=-1$.

Inverse d'un complexe non nul $z=a+ib$ : on multiplie par le conjugué pour faire apparaître $|z|^2$ au dénominateur, qui est réel :

Exemple résolu. Calculer $\dfrac{1}{3-4i}$ et $(2+3i)(1-2i)$.

Pour l'inverse : $\dfrac{1}{3-4i} = \dfrac{3+4i}{3^2+4^2} = \dfrac{3+4i}{25} = \dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}i$.

Pour le produit : $(2+3i)(1-2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2 = 2 - i + 6 = 8 - i$.

### 6. Interprétation géométrique : le plan complexe

On identifie $\mathbb{C}$ au plan euclidien muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{u}, \vec{v})$ : au complexe $z=a+ib$ on associe le point $M(a,b)$, appelé image de $z$, et $z$ est l'affixe de $M$ (et du vecteur $\overrightarrow{OM}$).

- L'axe des abscisses (où $b=0$) est l'axe réel
- L'axe des ordonnées (où $a=0$) est l'axe imaginaire
- Le module $|z|$ est la distance $OM = \|\overrightarrow{OM}\|$
- Le conjugué $\overline{z}$ correspond au point symétrique de $M$ par rapport à l'axe réel

Distance entre deux points. Si $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$, alors :

Affixe du milieu. Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour affixe :

Exemple résolu. Soient $A(1+2i)$ et $B(5-2i)$. Calculer $AB$ et l'affixe du milieu $I$ de $[AB]$.

### 7. Ensembles de points définis par une condition complexe

De nombreux lieux géométriques s'expriment simplement avec les affixes.

Exemple résolu. Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z-i| = |z+1|$.

Géométriquement, $|z-i|$ est la distance de $M$ au point $A$ d'affixe $i=(0,1)$, et $|z+1|$ la distance de $M$ au point $B$ d'affixe $-1=(-1,0)$. L'égalité signifie $MA = MB$ : l'ensemble cherché est donc la médiatrice du segment $[AB]$.

Vérification algébrique : en posant $z=x+iy$,

qui est bien l'équation d'une droite (la médiatrice de $[AB]$, passant par l'origine).

### 8. Synthèse des formules essentielles

| Notion | Formule |
|---|---|
| Forme algébrique | $z = a+ib$ |
| Conjugué | $\overline{z} = a-ib$ |
| Module | $|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\overline{z}}$ |
| Inverse | $\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2}$ |
| Distance $AB$ | $AB = |z_B-z_A|$ |
| Milieu de $[AB]$ | $z_I = \dfrac{z_A+z_B}{2}$ |