Forme trigonométrique, exponentielle et formule de Moivre

Forme trigonométrique, exponentielle et formule de Moivre

### 1. Argument d'un nombre complexe non nul

Soit $z \in \mathbb{C}^*$ d'image $M$ dans le plan complexe. Un argument de $z$, noté $\arg(z)$, est une mesure en radians de l'angle orienté $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$. Il est défini modulo $2\pi$ : si $\theta_0$ est un argument de $z$, tous les arguments de $z$ sont $\theta_0 + 2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Si $z = a+ib$ a pour module $r=|z|$ et pour argument $\theta$, alors :

Exemple résolu. Déterminer module et argument de $z = \sqrt{3}+i$.

### 2. Forme trigonométrique

Tout nombre complexe non nul $z$ s'écrit :

C'est la forme trigonométrique (ou polaire) de $z$. Elle est particulièrement adaptée à la multiplication.

Propriété (multiplication et division en forme polaire). Si $z = r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et $z'=r'(\cos\theta'+i\sin\theta')$, alors :

On retrouve ainsi un résultat fondamental : les modules se multiplient (ou se divisent) et les arguments s'additionnent (ou se soustraient) :

### 3. Notation exponentielle complexe

On définit, pour $\theta \in \mathbb{R}$ :

Cette notation est cohérente avec les propriétés de l'exponentielle car elle vérifie la même règle fonctionnelle :

ce qui se vérifie directement à partir des formules d'addition trigonométriques :

Tout complexe non nul s'écrit alors sous forme exponentielle :

Propriétés immédiates :

### 4. Formule d'Euler

Directement issue de la définition $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ et de son conjugué $e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta$, on obtient les formules d'Euler :

Ces formules permettent de transformer puissances et produits de fonctions trigonométriques en sommes d'exponentielles complexes, technique appelée linéarisation.

### 5. Formule de Moivre

Pour $\theta \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$, en élevant $e^{i\theta}$ à la puissance $n$ via $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$, on obtient la formule de Moivre :

Cette formule permet d'exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ (en développant le membre de gauche par le binôme de Newton), ou plus généralement de calculer des puissances de complexes écrits en forme trigonométrique.

Exemple résolu. Calculer $(1+i)^8$.

On met $1+i$ sous forme exponentielle : $|1+i|=\sqrt{2}$ et $\arg(1+i)=\dfrac{\pi}{4}$, donc $1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$. Par suite :

### 6. Linéarisation trigonométrique

La linéarisation consiste à exprimer $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ (ou leurs produits) comme combinaison linéaire de $\cos(k\theta)$, $\sin(k\theta)$, en utilisant les formules d'Euler puis le binôme de Newton.

Exemple résolu. Linéariser $\cos^3\theta$.

D'après Euler, $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$, donc :

en développant par le binôme de Newton $(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$ avec $x=e^{i\theta}$, $y=e^{-i\theta}$. On regroupe les termes conjugués :

### 7. Application inverse : développement de $\cos(n\theta)$

Réciproquement, la formule de Moivre permet de développer $\cos(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$.

Exemple résolu. Exprimer $\cos(3\theta)$ en fonction de $\cos\theta$.

Par Moivre : $\cos(3\theta)+i\sin(3\theta) = (\cos\theta+i\sin\theta)^3$. On développe le membre de droite :

En identifiant la partie réelle (qui doit valoir $\cos(3\theta)$) :

### 8. Forme exponentielle et opérations géométriques

La forme exponentielle traduit immédiatement les transformations géométriques classiques :
- La rotation d'angle $\theta$ et de centre $O$ envoie $z$ sur $e^{i\theta}z$
- L'homothétie de rapport $k>0$ et de centre $O$ envoie $z$ sur $kz$
- La similitude directe de centre $O$, de rapport $r$ et d'angle $\theta$ envoie $z$ sur $re^{i\theta}z$

### 9. Synthèse des formules essentielles

| Notion | Formule |
|---|---|
| Forme trigonométrique | $z = r(\cos\theta+i\sin\theta)$ |
| Forme exponentielle | $z = re^{i\theta}$ |
| Formules d'Euler | $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$, $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ |
| Formule de Moivre | $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ |
| Produit | $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')$ |