Espaces de probabilité et axiomes

Espaces de probabilité

1. Vocabulaire

- Expérience aléatoire : expérience dont l'issue est imprévisible.
- Univers $\Omega$ : ensemble de toutes les issues possibles.
- Événement : sous-ensemble de $\Omega$.

2. Axiomes de Kolmogorov

Une probabilité $P : \mathcal{F} \to [0,1]$ vérifie :
1. $P(\Omega) = 1$
2. $\sigma$-additivité : $(A_n)$ deux à deux disjoints $\Rightarrow P(\bigcup_n A_n) = \sum_n P(A_n)$

3. Propriétés fondamentales

- $P(\emptyset) = 0$, $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
- $P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
- Probabilité conditionnelle : $P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ si $P(B)>0$
- Indépendance : $P(A\cap B) = P(A)P(B)$

4. Formule de Bayes

Formule des probabilités totales : si $(B_i)$ est une partition de $\Omega$ :