Licence 1Probabilités

Loi binomiale et loi de Poisson

50 min15 exercicesSéquence 3.3 — Licence 1

▶

Vidéo disponible dans la version Premium

Durée : 50 min

$n$ épreuves de Bernoulli indépendantes, $p$ = probabilité de succès. Le nombre $X$ de succès :

P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,\ldots,n

$\mathbb{E}[X]=np$ , $\text{Var}(X)=np(1-p)$ .

P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\quad k=0,1,2,\ldots

$\mathbb{E}[X]=\text{Var}(X)=\lambda$ .

Stabilité : $X\sim\mathcal{P}(\lambda)$ , $Y\sim\mathcal{P}(\mu)$ indépendantes $\Rightarrow X+Y\sim\mathcal{P}(\lambda+\mu)$ .

Si $n\geq30$ , $p\leq0.1$ , $\lambda=np$ : $B(n,p)\approx\mathcal{P}(\lambda)$ .

Théorème de Poisson : $B(n,\lambda/n)\xrightarrow{n\to\infty}\mathcal{P}(\lambda)$ terme à terme.

Soit $X\sim B(5,0.5)$ . Quelle est $P(X=2)$ ?

Pour $X\sim B(n,p)$ , $\mathbb{E}[X]$ vaut :

Vrai ou faux : Pour $X\sim\mathcal{P}(\lambda)$ , $\mathbb{E}[X]=\text{Var}(X)=\lambda$ .

Calculer $P(X=0)$ pour $X\sim\mathcal{P}(3)$ .

Vrai ou faux : $X\sim B(n,p)$ peut prendre les valeurs $0,1,\ldots,n$ .

Suivez votre progression

Connectez-vous pour sauvegarder votre avancement et gagner des XP.