Variables aléatoires discrètes

Variables aléatoires discrètes

1. Définition et loi

Une v.a. discrète $X$ prend des valeurs dans une partie finie ou dénombrable de $\mathbb{R}$.
Sa loi est $(P(X=x_k))_k$ avec $\sum_k P(X=x_k)=1$.

2. Espérance

Linéarité : $\mathbb{E}[\alpha X+\beta Y]=\alpha\mathbb{E}[X]+\beta\mathbb{E}[Y]$ (toujours vraie).

3. Variance

$\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$. Si $X,Y$ indépendantes : $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$.

4. Inégalités

Markov ($X\geq0$) : $P(X\geq a)\leq \mathbb{E}[X]/a$.

Bienaymé-Tchebychev : $P(|X-\mathbb{E}[X]|\geq k\sigma)\leq 1/k^2$.

5. Lois usuelles

- Bernoulli $B(p)$ : $\mathbb{E}=p$, $\text{Var}=p(1-p)$.
- Uniforme $\{1,\ldots,n\}$ : $\mathbb{E}=(n+1)/2$, $\text{Var}=(n^2-1)/12$.
- Géométrique $G(p)$ : $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$, $\mathbb{E}=1/p$.