Variance et écart-type

Pourquoi mesurer la dispersion ?

Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais être très différemment dispersées autour de cette moyenne. La variance et l'écart-type permettent de quantifier cette dispersion par rapport à la moyenne.

La variance

La variance $V$ d'une série de valeurs $x_1, \ldots, x_n$ de moyenne $\bar{x}$ est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :

L'écart-type

L'écart-type $\sigma$ est la racine carrée de la variance :

Pourquoi l'écart-type plutôt que la variance ? La variance est exprimée dans l'unité au carré (par exemple en $\text{cm}^2$ si les données sont en cm), ce qui n'est pas pratique à interpréter. L'écart-type, lui, est exprimé dans la même unité que les données.

Méthode de calcul

1. Calculer la moyenne $\bar{x}$.
2. Calculer chaque écart $(x_i-\bar{x})$, puis l'élever au carré.
3. Faire la moyenne de ces carrés : c'est la variance $V$.
4. Prendre la racine carrée de $V$ pour obtenir $\sigma$.

Exemple : série $2, 4, 6$ de moyenne $\bar{x}=4$.

Écarts : $-2, 0, 2$. Carrés des écarts : $4, 0, 4$.

Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne ; un écart-type proche de $0$ signifie que les valeurs sont très regroupées autour de la moyenne.