Résolution d'équations trigonométriques

Équation $\cos x = \cos a$

Sur $\mathbb{R}$ :

$$\cos x = \cos a \iff x = a + 2k\pi \ \text{ou}\ x=-a+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$$

Exemple

Résoudre $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $[0\,;\,2\pi[$. On sait que $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$, donc $a=\dfrac{\pi}{3}$ :

Sur $[0\,;\,2\pi[$, on garde $x=\dfrac{\pi}{3}$ (avec $k=0$) et $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{5\pi}{3}$ (avec $k=1$).

Équation $\sin x = \sin a$

Sur $\mathbb{R}$ :

$$\sin x = \sin a \iff x = a+2k\pi \ \text{ou}\ x=\pi-a+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$$

Exemple

Résoudre $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[0\,;\,2\pi[$. On sait que $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc $a=\dfrac{\pi}{4}$ :

Sur $[0\,;\,2\pi[$ :

Méthode

1. Identifier une solution évidente $a$ (souvent une valeur remarquable du cours).
2. Écrire les deux familles de solutions générales sur $\mathbb{R}$.
3. Restreindre à l'intervalle demandé en testant les valeurs de $k$.

Astuce : pour $\cos x = 0$, les solutions sont $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ ; pour $\sin x = 0$, les solutions sont $x = k\pi$.