Anneaux et idéaux

Anneaux et idéaux

1. Définition d'un anneau

Un anneau est un triplet $(A, +, \times)$ où $+$ et $\times$ sont deux lois de composition interne sur $A$ telles que :

1. $(A, +)$ est un groupe abélien (de neutre noté $0$) ;
2. $\times$ est associative ;
3. $\times$ est distributive par rapport à $+$ : pour tout $x,y,z \in A$,

Si de plus $\times$ admet un élément neutre (noté $1$), on dit que l'anneau est unitaire. Si $\times$ est commutative, on dit que l'anneau est commutatif. Dans ce cours, « anneau » désignera presque toujours un anneau commutatif unitaire (sauf mention contraire, comme pour les matrices).

Exemples : $(\mathbb{Z}, +, \times)$, $(\mathbb{Q}, +, \times)$, $(\mathbb{R}, +, \times)$, $(\mathbb{C}, +, \times)$ sont des anneaux commutatifs unitaires. $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)$ également. L'ensemble $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ des matrices carrées, muni de $+$ et $\times$ matricielles, est un anneau unitaire non commutatif dès que $n \geq 2$.

2. Diviseurs de zéro et anneaux intègres

Un élément $a \in A$, $a \neq 0$, est un diviseur de zéro s'il existe $b \in A$, $b \neq 0$, tel que $a \times b = 0$.

Un anneau commutatif unitaire $A$ (avec $1 \neq 0$) est intègre s'il n'a aucun diviseur de zéro, c'est-à-dire :

Exemples : $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ sont intègres. En revanche, $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ n'est pas intègre : $\overline{2} \times \overline{3} = \overline{6} = \overline{0}$, alors que $\overline{2} \neq \overline{0}$ et $\overline{3} \neq \overline{0}$. Plus généralement, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est intègre si et seulement si $n$ est premier (on verra dans la leçon suivante que c'est alors même un corps).

3. Idéaux

Soit $A$ un anneau commutatif. Une partie $I \subset A$ est un idéal de $A$ si :

1. $I$ est un sous-groupe de $(A,+)$ (en particulier $0 \in I$) ;
2. $I$ est absorbant : pour tout $a \in A$ et $x \in I$, $a \times x \in I$.

La condition d'absorption est plus forte que la simple stabilité par $\times$ : on multiplie par n'importe quel élément de l'anneau, pas seulement par des éléments de $I$. C'est ce qui distingue un idéal d'un simple « sous-anneau ».

Idéal principal. Pour $a \in A$, l'ensemble $aA = \{a \times x : x \in A\}$ (souvent noté $(a)$) est un idéal, appelé idéal principal engendré par $a$. Dans $\mathbb{Z}$, on retrouve exactement les sous-groupes $n\mathbb{Z}$ : les idéaux de $\mathbb{Z}$ sont donc exactement les $n\mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ — on dit que $\mathbb{Z}$ est un anneau principal.

Exemple détaillé. Dans $A=\mathbb{Z}$, l'idéal $(6) = 6\mathbb{Z} = \{\dots,-12,-6,0,6,12,\dots\}$. On vérifie l'absorption : si $x \in 6\mathbb{Z}$ (donc $x=6k$) et $a \in \mathbb{Z}$ quelconque, alors $ax = 6(ak) \in 6\mathbb{Z}$.

4. Anneau quotient (intuition)

L'idée du quotient $A/I$ est de « rendre nuls » tous les éléments de l'idéal $I$, c'est-à-dire de considérer deux éléments $x,y \in A$ comme équivalents dès que $x-y \in I$ (on note $x \equiv y \pmod I$). On regroupe ainsi $A$ en classes d'équivalence, et $A/I$ est l'ensemble de ces classes, muni des lois $+$ et $\times$ héritées de $A$.

C'est exactement la construction déjà rencontrée pour $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ : c'est le quotient de l'anneau $\mathbb{Z}$ par son idéal $n\mathbb{Z}$. Le fait que $I$ soit un idéal (et pas seulement un sous-groupe) garantit que la multiplication des classes est bien définie (ne dépend pas du représentant choisi dans chaque classe) — c'est précisément la condition d'absorption qui assure cette compatibilité.

Résumé

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