Corps, corps finis et corps de fractions

Corps, corps finis et corps de fractions

1. Définition d'un corps

Un corps est un anneau commutatif unitaire $(K,+,\times)$, avec $1 \neq 0$, dans lequel tout élément non nul est inversible pour $\times$ :

De manière équivalente : $(K,+)$ est un groupe abélien, et $(K\setminus\{0\}, \times)$ est aussi un groupe abélien.

Conséquence immédiate : tout corps est intègre. En effet, si $xy=0$ avec $x\neq0$, on multiplie par $x^{-1}$ : $x^{-1}(xy) = x^{-1}\times 0 = 0$, soit $(x^{-1}x)y = y = 0$. Donc $xy=0 \Rightarrow x=0$ ou $y=0$.

Exemples : $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ sont des corps. $\mathbb{Z}$ n'est pas un corps (aucun entier autre que $\pm1$ n'a d'inverse entier). $\mathbb{R}[X]$ (les polynômes) n'est pas un corps non plus : $X$ n'a pas d'inverse polynomial.

2. Corps finis $\mathbb{F}_p$

Théorème. Pour $p$ premier, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps, noté $\mathbb{F}_p$.

Idée de la démonstration. On sait déjà que $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est intègre lorsque $p$ est premier (leçon précédente). Il reste à montrer que tout $\overline{a}\neq\overline{0}$ (avec $0<a<p$) est inversible. Comme $p$ est premier et $0 < a < p$, on a $\text{pgcd}(a,p)=1$. Par le théorème de Bézout, il existe $u,v \in \mathbb{Z}$ tels que $au + pv = 1$. En passant aux classes modulo $p$ : $\overline{a}\times\overline{u} = \overline{1}$ (car $\overline{pv}=\overline{0}$). Donc $\overline{u}$ est l'inverse de $\overline{a}$. $\blacksquare$

Exemple : inverses dans $\mathbb{F}_7$. On cherche l'inverse de $\overline{3}$. On résout $3u \equiv 1 \pmod 7$ : $3\times 5 = 15 = 14+1 \equiv 1 \pmod 7$. Donc $\overline{3}^{-1} = \overline{5}$ dans $\mathbb{F}_7$.

Contre-exemple : $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ n'est pas un corps. $4$ n'est pas premier ($4=2\times2$), donc $\overline{2}$ est un diviseur de zéro ($\overline{2}\times\overline{2}=\overline{4}=\overline{0}$) et ne peut pas être inversible (un diviseur de zéro non nul n'est jamais inversible dans un anneau, car s'il l'était on retrouverait l'intégrité par le même argument que ci-dessus).

3. Corps de fractions d'un anneau intègre

Idée directrice : $\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$. $\mathbb{Z}$ est un anneau intègre mais n'est pas un corps. On construit $\mathbb{Q}$ en formant des fractions $a/b$ avec $a,b \in \mathbb{Z}$, $b \neq 0$, et en identifiant $a/b$ et $a'/b'$ dès que $ab' = a'b$ (« produit en croix »). On définit alors :

Ces opérations font de $\mathbb{Q}$ un corps : l'inverse de $a/b$ (avec $a\neq0$) est $b/a$.

Construction générale. Soit $A$ un anneau commutatif intègre. On construit son corps de fractions $K = \text{Frac}(A)$ exactement sur ce modèle :
- on considère les couples $(a,b)$ avec $a,b\in A$, $b\neq 0$, notés formellement $\dfrac{a}{b}$ ;
- on identifie $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{a'}{b'}$ dès que $ab'=a'b$ (c'est ici que l'intégrité de $A$ est utilisée, pour que cette relation soit bien une relation d'équivalence compatible avec les opérations) ;
- on définit $+$ et $\times$ comme ci-dessus.

L'anneau $A$ se plonge dans $K$ via $a \mapsto a/1$, et $K$ est le « plus petit » corps contenant (une copie de) $A$.

Exemple : corps des fractions rationnelles. Si $A = \mathbb{R}[X]$ (intègre), son corps de fractions est $\mathbb{R}(X)$, le corps des fractions rationnelles $\dfrac{P(X)}{Q(X)}$ avec $Q\neq0$ — exactement comme $\mathbb{Q}$ est construit à partir de $\mathbb{Z}$.

4. Pourquoi l'intégrité est-elle nécessaire ?

Si $A$ avait des diviseurs de zéro, la construction échouerait : on ne pourrait pas définir d'inverse cohérent. Par exemple, dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $\overline{2}\times\overline{3}=\overline{0}$ ; si l'on essayait de « diviser par $\overline{2}$ », on serait bloqué car $\overline{2}$ n'est ni nul ni inversible. C'est pourquoi le corps de fractions n'existe (sous cette forme) que pour les anneaux intègres.

Résumé

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