Groupes, sous-groupes et morphismes

Groupes, sous-groupes et morphismes

1. Loi de composition interne

Soit $E$ un ensemble. Une loi de composition interne sur $E$ est une application

Autrement dit, c'est une façon de combiner deux éléments de $E$ pour produire un troisième élément de $E$ (on dit que $E$ est stable pour $\ast$). Exemples : $+$ et $\times$ sur $\mathbb{Z}$, la composition $\circ$ sur l'ensemble des bijections d'un ensemble.

2. Définition d'un groupe

Un groupe est un couple $(G, \ast)$ où $G$ est un ensemble et $\ast$ une loi de composition interne sur $G$ vérifiant :

1. Associativité : pour tout $x,y,z \in G$, $(x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z)$.
2. Existence d'un élément neutre : il existe $e \in G$ tel que pour tout $x \in G$, $e \ast x = x \ast e = x$.
3. Existence d'un inverse : pour tout $x \in G$, il existe $x^{-1} \in G$ tel que $x \ast x^{-1} = x^{-1} \ast x = e$.

Si de plus $x \ast y = y \ast x$ pour tout $x,y \in G$, on dit que le groupe est commutatif (ou abélien).

Unicité du neutre et de l'inverse. Le neutre $e$ est unique : si $e'$ vérifie aussi la propriété 2, alors $e' = e' \ast e = e$. De même, l'inverse de $x$ est unique : si $y$ et $z$ vérifient $x \ast y = e$ et $z \ast x = e$, alors $z = z \ast e = z \ast (x \ast y) = (z \ast x) \ast y = e \ast y = y$.

3. Exemples fondamentaux

- $(\mathbb{Z}, +)$, $(\mathbb{Q}, +)$, $(\mathbb{R}, +)$, $(\mathbb{C}, +)$ sont des groupes abéliens (neutre $0$, inverse de $x$ : $-x$).
- $(\mathbb{Q}^*, \times)$, $(\mathbb{R}^*, \times)$ sont des groupes abéliens (neutre $1$, inverse de $x$ : $1/x$). Attention : $(\mathbb{Z}, \times)$ n'est pas un groupe (les seuls éléments inversibles sont $1$ et $-1$).
- $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ : l'ensemble des classes de congruence modulo $n$, muni de l'addition des classes, est un groupe abélien fini à $n$ éléments. C'est l'exemple de référence des groupes cycliques.
- Le groupe symétrique $(\mathfrak{S}_n, \circ)$ : l'ensemble des permutations (bijections) de $\{1, \dots, n\}$, muni de la composition. C'est un groupe non commutatif dès que $n \geq 3$, de cardinal $n!$.
- Le groupe linéaire $GL_n(\mathbb{R})$ : l'ensemble des matrices carrées $n\times n$ inversibles, muni de la multiplication matricielle. Neutre : $I_n$. Non commutatif dès que $n \geq 2$.

4. Sous-groupes

Une partie $H \subset G$ est un sous-groupe de $(G,\ast)$ si $(H, \ast)$ est lui-même un groupe, c'est-à-dire si $H$ est stable pour $\ast$, contient le neutre, et est stable par passage à l'inverse.

Critère pratique (caractérisation par 3 conditions) : $H$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si :
1. $H \neq \varnothing$ (en pratique, on vérifie souvent $e \in H$) ;
2. pour tout $x,y \in H$, $x \ast y \in H$ (stabilité) ;
3. pour tout $x \in H$, $x^{-1} \in H$ (stabilité par inverse).

Critère condensé. $H$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $H \neq \varnothing$ et pour tout $x,y \in H$, $x \ast y^{-1} \in H$.

Exemples : $n\mathbb{Z} = \{nk : k \in \mathbb{Z}\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ ; réciproquement, on montre que tous les sous-groupes de $(\mathbb{Z},+)$ sont de cette forme. Le groupe $\{I_n\}$ et $G$ lui-même sont toujours des sous-groupes (dits triviaux) de $G$.

5. Morphismes de groupes

Soient $(G,\ast)$ et $(G',\star)$ deux groupes. Une application $f : G \to G'$ est un morphisme de groupes si pour tout $x,y \in G$ :

Conséquences immédiates : $f(e_G) = e_{G'}$ et $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$ pour tout $x \in G$.

On définit :
- le noyau : $\ker f = \{x \in G : f(x) = e_{G'}\}$, c'est un sous-groupe de $G$ ;
- l'image : $\text{Im}\, f = \{f(x) : x \in G\}$, c'est un sous-groupe de $G'$.

Un morphisme bijectif est appelé isomorphisme : les deux groupes ont alors « la même structure » (même table de multiplication, à renommage des éléments près). Un résultat fondamental : $f$ est injectif si et seulement si $\ker f = \{e_G\}$ (si $f(x)=f(y)$ alors $f(xy^{-1}) = e_{G'}$ donc $xy^{-1} \in \ker f = \{e_G\}$, donc $x=y$).

Exemple : $f : (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$, $k \mapsto \overline{k}$ (classe de $k$ modulo $n$) est un morphisme surjectif de noyau $n\mathbb{Z}$.

Résumé

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