Formes quadratiques

Formes bilinéaires et formes quadratiques

1. Formes bilinéaires symétriques

Une forme bilinéaire symétrique sur $E$ est une application $B:E\times E\to\mathbb{R}$ linéaire en chaque argument et $B(x,y)=B(y,x)$.

Matrice : Dans une base $(e_i)$, $B_{ij}=B(e_i,e_j)$. $B$ est représentée par une matrice symétrique.

Non dégénérée : $B(x,y)=0$ pour tout $y$ implique $x=0$ $\Leftrightarrow$ $\det(B)\neq0$.

2. Formes quadratiques

La forme quadratique associée à $B$ est $q(x)=B(x,x)$.

Polarisation : $B(x,y)=\frac{1}{2}[q(x+y)-q(x)-q(y)]$.

Matrice : $q(x)=X^TAX$ où $A=A^T$ est la matrice de $B$.

3. Réduction

Théorème (Gauss) : toute forme quadratique réelle est réductible en une somme de carrés :

Théorème de Sylvester : l'indice $(p,q)$ (signature) est un invariant de $q$ (ne dépend pas de la réduction choisie).

4. Classification

- Définie positive : $q(x)>0$ pour $x\neq0$ $\Leftrightarrow$ $A$ définie positive $\Leftrightarrow$ tous les mineurs principaux $>0$ (critère de Sylvester)
- Définie négative : $q(x)<0$ pour $x\neq0$
- Semi-définie : $q(x)\geq0$ pour tout $x$
- Indéfinie : prend des valeurs positives et négatives

5. Diagonalisation en base orthonormée

Pour $A$ symétrique réelle, par le théorème spectral : il existe une base orthonormée de vecteurs propres de $A$, et dans cette base $q(x)=\lambda_1 x_1^2+\cdots+\lambda_n x_n^2$ ($\lambda_i$ valeurs propres réelles de $A$).