Trigonalisation et réduction de Jordan

Trigonalisation et réduction de Jordan

1. Trigonalisation

Un endomorphisme $f$ est trigonalisable (ou triangularisable) si sa matrice dans une base convenable est triangulaire supérieure.

Critère : $f$ est trigonalisable sur $\mathbb{K}$ $\Leftrightarrow$ $\chi_f$ est scindé sur $\mathbb{K}$.

En particulier, tout endomorphisme d'un espace vectoriel complexe est trigonalisable.

2. Décomposition de Dunford

Si $\chi_f$ est scindé, $f$ s'écrit de façon unique :

où $d$ est diagonalisable, $n$ est nilpotente ($n^k=0$ pour un certain $k$), et $dn=nd$.

3. Blocs de Jordan

Un bloc de Jordan de taille $k$ associé à $\lambda$ est :

C'est la matrice de la restriction de $f$ à un vecteur cyclique (vecteur générateur d'un sous-espace invariant de dimension $k$).

4. Réduction de Jordan

Tout endomorphisme $f$ (dont $\chi_f$ est scindé) est semblable à une matrice de Jordan :

La forme de Jordan est unique à l'ordre des blocs près.

Pour la valeur propre $\lambda$ :
- Nombre de blocs = $\dim E_\lambda =$ multiplicité géométrique
- Taille du plus grand bloc = degré de $\lambda$ dans $\mu_f$
- Somme des tailles = multiplicité algébrique de $\lambda$ dans $\chi_f$