Polynôme caractéristique et diagonalisation

Réduction des endomorphismes — Diagonalisation

1. Polynôme caractéristique

Pour $f\in\mathcal{L}(E)$ ($E$ de dimension $n$), le polynôme caractéristique est :

C'est un polynôme de degré $n$. Les valeurs propres de $f$ sont exactement les racines de $\chi_f$.

Invariants : $\chi_f$ ne dépend pas du choix de la base.

2. Polynôme minimal

Le polynôme minimal $\mu_f$ est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule $f$ :

Propriétés :
- $\mu_f$ divise tout polynôme annulateur de $f$
- $\mu_f$ divise $\chi_f$ (Cayley-Hamilton)
- $\mu_f$ et $\chi_f$ ont les mêmes racines (mais avec des multiplicités éventuellement différentes)

3. Critères de diagonalisation

$f$ est diagonalisable si et seulement si l'une des conditions équivalentes est satisfaite :
1. $\chi_f$ est scindé sur $\mathbb{R}$ et pour toute valeur propre $\lambda$ : $\dim E_\lambda = m_{alg}(\lambda)$
2. $\mu_f$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$
3. $E = \bigoplus_{\lambda \text{ vp}} E_\lambda$ (somme directe des sous-espaces propres)

4. Diagonalisation — méthode

1. Calculer $\chi_f$ et ses racines (valeurs propres)
2. Pour chaque valeur propre $\lambda$, calculer $E_\lambda = \ker(f-\lambda\text{Id})$
3. Vérifier que $\sum\dim E_\lambda = n$
4. Former $P$ avec les colonnes = vecteurs propres, $D=\text{diag}(\lambda_i)$, $P^{-1}AP=D$

5. Applications

Puissances : $A^n = PD^nP^{-1}$.

Systèmes d'ED : $X'=AX$ se résout par $Y'=DY$ (découplé) avec $X=PY$.

Polynômes en $A$ : si $p(\lambda_i)$ connu, $p(A)=Pp(D)P^{-1}$.