Calcul intégral et primitives

Calcul intégral et primitives

### 1. Primitives usuelles

Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.

Unicité à une constante près : Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, alors $F - G$ est constante sur $I$. Ainsi, l'ensemble des primitives de $f$ s'écrit $F(x) + C$, $C \in \mathbb{R}$.

Tableau des primitives usuelles :

| Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ | Condition |
|---|---|---|
| $x^n$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \in \mathbb{N}$, ou $n \neq -1$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x| + C$ | $x \neq 0$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ | — |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ | — |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ | — |
| $\dfrac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x + C$ | — |
| $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x + C$ | $x \in ]-1,1[$ |
| $\dfrac{u'}{u}$ | $\ln|u| + C$ | $u \neq 0$ |
| $u' e^u$ | $e^u + C$ | — |

Linéarité de la primitivation : si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$, alors pour tous réels $\alpha, \beta$, $\alpha F + \beta G$ est une primitive de $\alpha f + \beta g$ :

### 2. Intégrale de Riemann sur un segment

Sommes de Riemann (idée intuitive) : soit $f$ continue sur $[a,b]$. On découpe $[a,b]$ en $n$ sous-intervalles de largeur $\frac{b-a}{n}$ et on approche l'aire sous la courbe par une somme de rectangles :

Lorsque $f$ est continue sur $[a,b]$, on démontre que $S_n$ converge quand $n \to +\infty$ vers un nombre réel, indépendant du choix des points dans chaque sous-intervalle. Cette limite est appelée intégrale de $f$ sur $[a,b]$, notée :

Géométriquement, si $f \geq 0$ sur $[a,b]$, $\int_a^b f(x)\,dx$ représente l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses, et les droites $x=a$, $x=b$.

Convention : $\int_b^a f(x)\, dx = -\int_a^b f(x)\, dx$ et $\int_a^a f(x)\, dx = 0$.

### 3. Théorème fondamental de l'analyse

Théorème : Soit $f$ continue sur $[a,b]$ et $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $[a,b]$. Alors :

Ce théorème relie le calcul d'aires (intégrale) au calcul de primitives, et permet de calculer explicitement une intégrale dès qu'on connaît une primitive.

Il admet aussi une formulation locale : la fonction $x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\, dt$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$ (c'est la primitive qui s'annule en $a$).

Exemple résolu : Calculer $\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\, dx$.

Solution : Une primitive de $3x^2 - 2x + 1$ est $F(x) = x^3 - x^2 + x$. Donc :

### 4. Propriétés de l'intégrale

Soient $f, g$ continues sur un intervalle contenant $a, b, c$.

Linéarité :

Positivité : si $f \geq 0$ sur $[a,b]$ (avec $a \leq b$), alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx \geq 0$.

Croissance (monotonie) : si $f \leq g$ sur $[a,b]$ (avec $a \leq b$), alors :

Relation de Chasles : pour tout $c$ (même hors de $[a,b]$, si $f$ y est définie) :

Inégalité triangulaire : si $a \leq b$,

Cette inégalité découle de $-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|$ et de la croissance de l'intégrale.

### 5. Intégration par parties (IPP)

Théorème : Soient $u, v$ deux fonctions de classe $C^1$ sur $[a,b]$. Alors :

(et de façon analogue pour les primitives, sans les bornes : $\int u v' = uv - \int u'v$).

Cette formule découle directement de la formule de dérivation d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$.

Exemple 1 : Calculer $\displaystyle\int_0^1 x e^x\, dx$.

Solution : On pose $u(x) = x$ (donc $u'(x)=1$) et $v'(x) = e^x$ (donc $v(x) = e^x$) :

On vérifie que $F(x) = (x-1)e^x$ est bien une primitive de $xe^x$ : $F'(x) = e^x + (x-1)e^x = xe^x$. ✓

Exemple 2 : Calculer $\displaystyle\int_1^e \ln x\, dx$.

Solution : On écrit $\ln x = 1 \cdot \ln x$ et on pose $u(x) = \ln x$ (donc $u'(x) = 1/x$) et $v'(x) = 1$ (donc $v(x) = x$) :

On vérifie : $F(x) = x\ln x - x$ a pour dérivée $F'(x) = \ln x + x\cdot\frac1x - 1 = \ln x$. ✓

### 6. Changement de variable

Théorème : Soit $\varphi$ de classe $C^1$ sur $[a,b]$ et $f$ continue sur $\varphi([a,b])$. Alors :

En pratique, on pose $x = \varphi(t)$, donc $dx = \varphi'(t)\, dt$, et on change les bornes en conséquence.

Exemple 1 : Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin x \cos x\, dx$.

Solution : On pose $u = \sin x$, donc $du = \cos x\, dx$. Quand $x=0$, $u=0$ ; quand $x=\pi/2$, $u=1$ :

Exemple 2 : Calculer $\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{1+x^2}\, dx$.

Solution : On pose $u = 1+x^2$, donc $du = 2x\, dx$, soit $x\,dx = \dfrac{du}{2}$. Quand $x=0$, $u=1$ ; quand $x=1$, $u=2$ :

### 7. Application : aires entre courbes

Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$ avec $f(x) \geq g(x)$ pour tout $x \in [a,b]$, l'aire $\mathcal{A}$ comprise entre les deux courbes est :

Exemple résolu : Calculer l'aire comprise entre les courbes de $f(x) = x$ et $g(x) = x^2$ sur $[0,1]$.

Solution : Sur $[0,1]$, on a $x \geq x^2$ (car $x - x^2 = x(1-x) \geq 0$). Donc :

### 8. Application : valeur moyenne d'une fonction

Définition : La valeur moyenne d'une fonction $f$ continue sur $[a,b]$ (avec $a \neq b$) est :

Théorème de la moyenne : il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = \mu$ (conséquence directe du TVI appliqué à $f$, continue sur le segment $[a,b]$).

Exemple résolu : Calculer la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0,3]$.

Solution :