Dérivabilité et règles de dérivation

Dérivabilité

1. Définition

$f$ est dérivable en $a$ si la limite suivante existe et est finie :

Interprétation géométrique : $f'(a)$ est la pente de la tangente au graphe de $f$ au point $(a, f(a))$.

Équation de la tangente en $a$ : $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

2. Lien dérivabilité — continuité

Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$. La réciproque est fausse : $|x|$ est continue mais non dérivable en $0$.

3. Dérivées usuelles

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4. Règles de dérivation

- Linéarité : $(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'$
- Produit : $(fg)' = f'g + fg'$
- Quotient : $(f/g)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
- Composée (règle de la chaîne) : $(g \circ f)'(x) = g'(f(x))\cdot f'(x)$
- Réciproque : Si $f$ est bijective et $f'(a)\neq 0$, alors $(f^{-1})'(f(a)) = \frac{1}{f'(a)}$

5. Théorèmes fondamentaux

Théorème de Rolle : Si $f$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, et $f(a)=f(b)$, alors il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.

Théorème des accroissements finis (TAF) : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$, alors il existe $c\in]a,b[$ tel que :

Corollaires du TAF :
- Si $f'=0$ sur $]a,b[$, alors $f$ est constante.
- Si $f'\geq 0$ sur $]a,b[$, alors $f$ est croissante.
- Inégalité des accroissements finis : Si $|f'|\leq M$ sur $]a,b[$, alors $|f(b)-f(a)|\leq M|b-a|$.

6. Dérivées d'ordre supérieur

La dérivée $n$-ième de $f$ est notée $f^{(n)}$. Une fonction est de classe $C^n$ si $f^{(n)}$ existe et est continue.

Formule de Leibniz : $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$