Limites de fonctions

Limites de fonctions

1. Définition formelle (ε-δ)

Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $a$ (sauf éventuellement en $a$). On dit que $f$ admet la limite $\ell \in \mathbb{R}$ en $a$ si :

Notation : $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell$

2. Limites infinies et à l'infini

- $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ : pour tout $M > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $0 < |x-a| < \delta \Rightarrow f(x) > M$
- $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ : pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $A > 0$ tel que $x > A \Rightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon$

3. Limites à gauche et à droite

$f$ admet une limite en $a$ si et seulement si $\ell_1 = \ell_2$.

4. Opérations sur les limites

Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ et $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = m$, alors :

|-----------|----------|

Formes indéterminées : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$.

5. Théorèmes fondamentaux

Théorème des gendarmes (squeeze theorem) : Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ au voisinage de $a$ et $\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = \ell$, alors $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell$.

Limites usuelles importantes :

6. Exemple résolu

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$.

Solution : On pose $u = 3x$, donc $u \to 0$ quand $x \to 0$.

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{5x^2 + x - 4}$.

Solution : On divise numérateur et dénominateur par $x^2$ :

7. Comparaison des infinis

On a les croissances comparées : $\ln x \ll x^\alpha \ll e^x$ quand $x \to +\infty$ (pour tout $\alpha > 0$).