Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Continuité des fonctions

1. Définition

Une fonction $f$ est continue en $a$ si :

Cela implique trois conditions : $f$ est définie en $a$, la limite existe, et elle est égale à $f(a)$.

$f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$.

2. Opérations sur les fonctions continues

Si $f$ et $g$ sont continues en $a$, alors $f+g$, $fg$, et $f/g$ (si $g(a)\neq 0$) le sont aussi. La composée $g\circ f$ est continue en $a$ si $f$ est continue en $a$ et $g$ continue en $f(a)$.

Fonctions continues usuelles : polynômes, fractions rationnelles (sur leur domaine), $\sin$, $\cos$, $\exp$, $\ln$, $x^\alpha$.

3. Prolongement par continuité

Si $\lim_{x\to a} f(x) = \ell$ mais $f$ n'est pas définie en $a$, on peut définir $\tilde{f}(a) = \ell$ : c'est le prolongement par continuité.

Exemple : $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ se prolonge en $a=0$ par $\tilde{f}(0) = 1$.

4. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé : Soit $f$ continue sur $[a,b]$. Pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.

Corollaire (existence de zéros) : Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(a) \cdot f(b) < 0$, alors il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.

5. Théorème des valeurs extrêmes

Si $f$ est continue sur un segment $[a,b]$ (compact), alors $f$ est bornée et atteint ses bornes : il existe $x_m, x_M \in [a,b]$ tels que $f(x_m) = \min f$ et $f(x_M) = \max f$.

6. Application : dichotomie

Le TVI garantit l'existence d'une racine. La méthode de dichotomie permet de l'approcher : on coupe l'intervalle en deux, on choisit le sous-intervalle où le signe change, et on itère.

Exemple : Montrer que $x^3 - 2x - 5 = 0$ a une racine dans $]2, 3[$. Soit $f(x) = x^3-2x-5$. $f(2)=-1<0$ et $f(3)=16>0$. Par le TVI, il existe $c\in ]2,3[$ avec $f(c)=0$.

7. Continuité uniforme

$f$ est uniformément continue sur $I$ si :

Théorème de Heine : Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est uniformément continue.