Applications : équations de tangentes et lecture graphique

Méthode générale pour une tangente

Pour déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ :

1. Calculer $f(a)$.
2. Calculer la fonction dérivée $f'(x)$, puis $f'(a)$.
3. Écrire l'équation : $y = f'(a)(x-a)+f(a)$, puis développer si besoin.

Exemple complet

Soit $f(x)=x^2-4x+1$, et on cherche la tangente en $a=1$.

- $f'(x) = 2x-4$
- $f(1) = 1-4+1=-2$
- $f'(1) = 2-4=-2$

Lien tangente et variations

Si $f'(a) > 0$, la tangente en $a$ est croissante, et $f$ est localement croissante autour de $a$.

Si $f'(a) < 0$, la tangente en $a$ est décroissante, et $f$ est localement décroissante autour de $a$.

Si $f'(a) = 0$, la tangente est horizontale : $a$ est un candidat à être un extremum local de $f$.

Ce lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction sera développé dans le chapitre suivant sur l'étude de fonctions.

Lecture graphique du nombre dérivé

Sur un graphique, $f'(a)$ se lit comme le coefficient directeur de la tangente tracée au point d'abscisse $a$ : si la tangente passe par deux points lisibles sur le quadrillage $(x_1\,;\,y_1)$ et $(x_2\,;\,y_2)$, alors :

Astuce : une tangente "qui monte d'une unité quand $x$ augmente de deux" a un coefficient directeur (donc un nombre dérivé) égal à $\dfrac{1}{2}$.