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1èreAnalyse

Fonction dérivée et dérivées des fonctions usuelles

25 min5 exercicesSéquence 2.2 — 1ère
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Durée : 25 min

Fonction dérivée

Si ff est dérivable en tout point d'un intervalle II, la fonction qui associe à chaque xx de II le nombre f′(x)f'(x) s'appelle la fonction dérivée de ff, notée f′f'.

Dérivées des fonctions usuelles


Fonction ffDérivée f′f'Ensemble de validité
|---|---|---|






f(x)=kf(x)=k (constante)f′(x)=0f'(x)=0R\mathbb{R}
f(x)=xf(x)=xf′(x)=1f'(x)=1R\mathbb{R}
f(x)=x2f(x)=x^2f′(x)=2xf'(x)=2xR\mathbb{R}
f(x)=xnf(x)=x^n (n∈N∗n\in\mathbb{N}^*)f′(x)=nxn−1f'(x)=nx^{n-1}R\mathbb{R}
f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f′(x)=12xf'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[
f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}f′(x)=−1x2f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}]−∞ ; 0[∪]0 ; +∞[]-\infty\,;\,0[\cup]0\,;\,+\infty[

Opérations sur les dérivées

Pour uu et vv deux fonctions dérivables et kk une constante réelle :

(u+v)′=u′+v′(ku)′=ku′(uv)′=u′v+uv′( u+v)' = u'+v' \qquad (ku)' = ku' \qquad (uv)' = u'v+uv'

Exemple (somme)

f(x)=x2+3x−5  ⟹  f′(x)=2x+3f(x) = x^2+3x-5 \implies f'(x) = 2x+3 (la dérivée de −5-5 est 00).

Exemple (produit)

f(x)=(2x+1)(x−3)f(x) = (2x+1)(x-3). On pose u(x)=2x+1u(x)=2x+1 (donc u′(x)=2u'(x)=2) et v(x)=x−3v(x)=x-3 (donc v′(x)=1v'(x)=1) :

f′(x)=u′v+uv′=2(x−3)+(2x+1)×1=2x−6+2x+1=4x−5f'(x) = u'v+uv' = 2(x-3)+(2x+1)\times1 = 2x-6+2x+1 = 4x-5

Vérification : en développant, f(x)=2x2−5x−3f(x)=2x^2-5x-3, donc f′(x)=4x−5f'(x)=4x-5. Cohérent !

Exemple (constante fois fonction)

f(x)=5x3  ⟹  f′(x)=5×3x2=15x2f(x) = 5x^3 \implies f'(x) = 5\times 3x^2 = 15x^2.

Exercices

La dérivée de f(x)=x5f(x) = x^5 est :

La dérivée d'une fonction constante est toujours nulle.

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