Nombre dérivé et tangente

Taux de variation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et $a$, $a+h$ deux réels de $I$ (avec $h\neq 0$). Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est :

C'est le coefficient directeur de la droite passant par les points $A(a\,;\,f(a))$ et $M(a+h\,;\,f(a+h))$ de la courbe, appelée droite sécante.

Nombre dérivé

Si le taux de variation $\tau(h)$ a une limite finie quand $h$ tend vers $0$, on dit que $f$ est dérivable en $a$, et cette limite est appelée nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$ :

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Exemple

Pour $f(x)=x^2$ et $a=3$ :

Quand $h\to 0$, $\tau(h) \to 6$. Donc $f'(3) = 6$.

Tangente à une courbe

Quand $h$ tend vers $0$, la droite sécante $(AM)$ « pivote » autour de $A$ et se rapproche d'une position limite : la tangente à la courbe au point $A$.

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$ :

$$T : y = f'(a)(x-a)+f(a)$$

Exemple (suite)

Pour $f(x)=x^2$, $a=3$ : $f(3)=9$ et $f'(3)=6$, donc la tangente en $A(3\,;\,9)$ a pour équation :

Remarque : $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente en $a$. Si $f'(a)=0$, la tangente est horizontale.