Dérivée d'une fonction composée

Fonction composée

Une fonction composée s'écrit $f(x) = g(u(x))$, c'est-à-dire qu'on applique d'abord $u$, puis $g$. On note parfois $f = g \circ u$.

Formule de dérivation d'une fonction composée :

$$f'(x) = u'(x) \times g'(u(x))$$

Cas particuliers à connaître

|---|---|

Exemple : soit $f(x) = (3x+1)^2$. On pose $u(x) = 3x+1$, donc $u'(x)=3$. Avec $n=2$ :

Vérification : en développant directement, $f(x) = 9x^2+6x+1$, donc $f'(x) = 18x+6$. Cela confirme le résultat.

Méthode

1. Identifier la fonction "intérieure" $u(x)$ et la fonction "extérieure" $g$.
2. Calculer $u'(x)$.
3. Appliquer la formule correspondante du tableau ci-dessus (ou la formule générale $u'(x)\times g'(u(x))$).