Dérivée seconde et convexité

La dérivée seconde

La dérivée seconde de $f$, notée $f''$, est la dérivée de la fonction dérivée $f'$ :

Exemple : si $f(x) = x^3 - 3x$, alors $f'(x) = 3x^2-3$, et $f''(x) = 6x$.

Convexité et concavité

Définition graphique : une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle (la courbe "se creuse vers le haut", comme un bol).

Une fonction est concave si sa courbe est entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes (comme un dôme).

Théorème (lien avec $f''$) :

- $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$ ;

- $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f''(x) \leqslant 0$ pour tout $x \in I$.

Concrètement, étudier le signe de $f''$ permet de déterminer la convexité de $f$, exactement comme on étudie le signe de $f'$ pour déterminer ses variations.

Point d'inflexion

Définition : un point d'inflexion est un point où la courbe de $f$ change de convexité (passe de convexe à concave, ou inversement). En un point d'inflexion $a$, $f''(a)=0$ et $f''$ change de signe en $a$.

Exemple : pour $f(x)=x^3$, $f''(x)=6x$ s'annule en $x=0$ et change de signe (négatif avant, positif après). Le point $(0;0)$ est donc un point d'inflexion de la courbe de $f$.

Attention : $f''(a)=0$ seul ne suffit pas à garantir un point d'inflexion ; il faut vérifier que $f''$ change réellement de signe autour de $a$.