Position de la courbe par rapport à la tangente

Équation de la tangente

Au point d'abscisse $a$, la tangente à la courbe de $f$ a pour équation :

Position de la courbe par rapport à la tangente

Théorème : soit $T$ la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.

- Si $f$ est convexe sur un intervalle contenant $a$, alors la courbe de $f$ est au-dessus de $T$ sur cet intervalle.

- Si $f$ est concave sur un intervalle contenant $a$, alors la courbe de $f$ est au-dessous de $T$ sur cet intervalle.

- En un point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente : elle passe d'un côté à l'autre de $T$.

Méthode pour étudier la position

Pour comparer $f(x)$ et la tangente $T(x) = f'(a)(x-a)+f(a)$, on étudie le signe de la différence $g(x) = f(x) - T(x)$ :

- si $g(x) \geqslant 0$ sur un intervalle, la courbe est au-dessus de la tangente sur cet intervalle ;
- si $g(x) \leqslant 0$, la courbe est au-dessous.

Exemple : pour $f(x) = x^2$, convexe sur $\mathbb{R}$ ($f''(x)=2>0$), la courbe (une parabole) est toujours au-dessus de chacune de ses tangentes, en tout point.

Application classique : l'inégalité de convexité $e^x \geqslant x+1$ pour tout réel $x$ s'obtient ainsi : $f(x)=e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ ($f''(x)=e^x>0$), donc sa courbe est au-dessus de la tangente en $x=0$, qui a pour équation $y=x+1$ (car $f(0)=1$ et $f'(0)=1$).