Système de deux équations à deux inconnues

Qu'est-ce qu'un système d'équations ?

Un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ est un ensemble de deux équations qui doivent être vérifiées simultanément. On le note avec une accolade :

Résoudre ce système, c'est trouver le (ou les) couple(s) $(x\ ;\ y)$ qui vérifient les deux équations à la fois.

Méthode par substitution

On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans la seconde.

Exemple : $\begin{cases} y = 2x+1 \\ 3x+y=11 \end{cases}$

On remplace $y$ par $2x+1$ dans la deuxième équation :

On revient à la première équation : $y = 2\times2+1 = 5$.

Solution : le couple $(2\ ;\ 5)$.

Méthode par combinaison linéaire

On multiplie une ou les deux équations pour faire apparaître des coefficients opposés sur une inconnue, puis on additionne.

Exemple : $\begin{cases} 2x+3y=16 \\ 2x-y=4 \end{cases}$

On soustrait la deuxième équation à la première (les termes en $x$ s'annulent) :

On remplace dans la deuxième équation : $2x-3=4 \implies x=3{,}5$.

Solution : le couple $(3{,}5\ ;\ 3)$.

Vérification : il est toujours conseillé de vérifier le couple solution dans les deux équations initiales.