Définition et propriétés algébriques

Définition de la fonction exponentielle

Théorème (admis) : il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0)=1$. Cette fonction est appelée fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$.

Donc, par définition :

On note $e = \exp(1) \approx 2{,}718$ (un nombre irrationnel, base du logarithme népérien).

Propriétés algébriques

Pour tous réels $a$ et $b$ :

Exemple : $e^{3}\times e^{-1} = e^{3-1} = e^2$.

Valeurs particulières : $e^0 = 1$, et pour tout réel $x$, $e^x > 0$ (l'exponentielle ne s'annule jamais et reste toujours strictement positive).

Équations et inéquations avec l'exponentielle

Comme $\exp$ est strictement croissante (voir leçon suivante), elle est injective : pour tous réels $a,b$,

Exemple : résoudre $e^{2x-1} = e^3$ équivaut à résoudre $2x-1=3$, soit $x=2$.