Variations et limites de l'exponentielle

Sens de variation

Comme $\exp'(x) = \exp(x) > 0$ pour tout réel $x$, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

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Limites aux bornes

La droite $y=0$ (l'axe des abscisses) est donc asymptote horizontale à la courbe de $\exp$ en $-\infty$.

Dérivée de $e^{u(x)}$

Formule : $\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x)\times e^{u(x)}$

Exemple : $f(x) = e^{-3x+1}$. On pose $u(x)=-3x+1$, donc $u'(x)=-3$ :

Comme $e^{u(x)}>0$ toujours, le signe de $f'(x)$ est celui de $u'(x)$ : ici $f'(x)<0$ pour tout $x$, donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Croissances comparées (admis)

Théorème (croissances comparées) : pour tout entier $n$,

$$\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad\qquad \lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0$$

Cela signifie que l'exponentielle "l'emporte" toujours sur les puissances de $x$ quand $x\to+\infty$ : même si $x^n$ devient très grand, $e^x$ devient encore bien plus grand.

Exemple d'application : $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^2} = +\infty$ et $\lim_{x\to-\infty} x^2e^x = 0$.