Étude de fonctions avec l'exponentielle

Méthode générale d'étude d'une fonction avec exponentielle

1. Déterminer l'ensemble de définition (l'exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, donc souvent $D_f=\mathbb{R}$).
2. Calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
3. Calculer la dérivée $f'(x)$, souvent en factorisant par un terme exponentiel (toujours strictement positif), pour faciliter l'étude du signe.
4. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
5. En déduire les extremums éventuels.

Exemple détaillé

Soit $f(x) = xe^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.

Dérivée : par la formule du produit, avec $u(x)=x$ ($u'=1$) et $v(x)=e^{-x}$ ($v'(x)=-e^{-x}$) :

Signe de $f'(x)$ : comme $e^{-x}>0$ toujours, le signe de $f'(x)$ est celui de $(1-x)$ :
- $f'(x)>0$ pour $x<1$ ;
- $f'(x)<0$ pour $x>1$.

Tableau de variations : $f$ est croissante sur $]-\infty;1]$ puis décroissante sur $[1;+\infty[$. Elle admet donc un maximum en $x=1$, valant $f(1)=1\times e^{-1}=\dfrac{1}{e}$.

Limites : $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ (croissances comparées : $xe^{-x}=-(-x)e^{-x}\to-\infty$... en pratique on pose $X=-x\to+\infty$ et $xe^{-x}=-Xe^X \to -\infty$), et $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ (croissances comparées directement).

Astuce de calcul : factoriser systématiquement par le terme exponentiel commun simplifie grandement l'étude du signe, car $e^{u(x)}$ ne change jamais de signe.