Définition et propriétés algébriques

Définition du logarithme népérien

Définition : la fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur $]0;+\infty[$ et vérifie :

$$\ln(e^x) = x \text{ pour tout } x \in \mathbb{R} \qquad\qquad e^{\ln(x)} = x \text{ pour tout } x>0$$

En particulier : $\ln(1) = 0$ (car $e^0=1$) et $\ln(e) = 1$ (car $e^1=e$).

Conséquence graphique : les courbes de $\exp$ et $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

Propriétés algébriques

Pour tous réels $a,b>0$ et tout entier $n$ :

Exemple : $\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2)$.

Équations et inéquations avec le logarithme

Comme $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ (donc injective), pour tous réels $a,b>0$ :

Attention : le logarithme n'est défini que pour des nombres strictement positifs. Avant de résoudre toute équation avec $\ln$, il faut toujours vérifier le domaine de validité.

Exemple : résoudre $\ln(x+1) = \ln(5)$ nécessite $x+1>0$, soit $x>-1$ ; sous cette condition, l'équation équivaut à $x+1=5$, soit $x=4$ (qui vérifie bien $x>-1$).