Dérivée et variations du logarithme

Dérivée de la fonction logarithme

Propriété : la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et :

$$\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$$

Comme $\dfrac{1}{x}>0$ pour tout $x>0$, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

Dérivée de $\ln(u(x))$

Formule : pour $u(x)>0$, $\left(\ln(u(x))\right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$

Exemple : $f(x) = \ln(2x+5)$, définie pour $2x+5>0$ soit $x>-\dfrac{5}{2}$. On pose $u(x)=2x+5$, $u'(x)=2$ :

Limites usuelles du logarithme

La droite $x=0$ est donc asymptote verticale à la courbe de $\ln$.

Croissances comparées avec le logarithme (admis) :

$$\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 \qquad\qquad \lim_{x\to0^+} x\ln(x) = 0$$

Cela signifie que $\ln(x)$ "perd" toujours face à $x$ : même si $\ln(x)\to+\infty$, il le fait beaucoup plus lentement que $x$ lui-même.

Tableau de variations de $\ln$

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