Équations, inéquations et applications

Résoudre des équations avec exponentielle et logarithme

Passer de $\ln$ à $\exp$

Pour résoudre une équation du type $\ln(x) = k$ (avec $k$ un réel donné), on applique l'exponentielle aux deux membres :

Exemple : $\ln(x) = 2 \iff x = e^2$.

Passer de $\exp$ à $\ln$

Pour résoudre une équation du type $e^x = k$ (avec $k>0$), on applique le logarithme aux deux membres :

Exemple : $e^x = 5 \iff x = \ln(5)$. Si $k \leqslant 0$, l'équation $e^x=k$ n'a aucune solution car $e^x>0$ toujours.

Méthode générale pour une équation mêlant les deux

1. Identifier le domaine de validité (arguments des $\ln$ strictement positifs).
2. Isoler le terme en $\ln$ ou en $\exp$.
3. Appliquer $\exp$ ou $\ln$ selon le cas pour "défaire" la fonction.
4. Résoudre l'équation résultante, puis vérifier que la solution appartient au domaine de validité.

Exemple complet : résoudre $2\ln(x) - 3 = 1$ sur $]0;+\infty[$.

Comme $e^2 > 0$, cette solution est valide.

Application : modélisation et croissance

Le couple exponentielle/logarithme intervient naturellement dans les modèles de croissance ou décroissance (population, désintégration radioactive, refroidissement). Une équation de la forme $e^{kt} = c$ se résout en isolant $t = \dfrac{\ln(c)}{k}$, ce qui permet par exemple de déterminer un "temps caractéristique" (demi-vie, doublement, etc.).