La fonction cube

Définition

La fonction cube est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

Tableau de valeurs

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Signe de $x^3$

Le cube d'un nombre a toujours le même signe que ce nombre (contrairement au carré, qui est toujours positif) :

- si $x>0$, alors $x^3>0$ ;
- si $x<0$, alors $x^3<0$ ;
- si $x=0$, alors $x^3=0$.

Parité : une fonction impaire

Pour tout réel $x$ :

On dit que la fonction cube est impaire. Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère : si le point $(x\ ;\ x^3)$ appartient à la courbe, alors le point $(-x\ ;\ -x^3)$ aussi.

Comparaison avec la fonction carré : la fonction carré $g(x)=x^2$ est paire (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées), alors que la fonction cube est impaire (symétrie par rapport à l'origine).

Sens de variation

La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : elle n'a qu'une seule branche de variation, sur l'ensemble des réels (contrairement à la fonction carré, qui décroît puis croît).

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Conséquence : comme $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, elle conserve l'ordre : si $a<b$ alors $a^3<b^3$.

Exemple : comme $-3 < 2$, on a directement $(-3)^3 < 2^3$, c'est-à-dire $-27 < 8$.

À retenir

- $f(x)=x^3$ est définie sur $\mathbb{R}$, impaire, et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- Le cube d'un nombre a le même signe que ce nombre.
- Étant strictement croissante, la fonction cube conserve l'ordre (utile pour comparer des cubes sans calculer).